Двоичная система счисления

Особая значимость двоичной системы счисления в информатике определяется тем, что внутреннее представление любой информации в компьютере является двоичным, т. е. описываемым наборами только из двух знаков (0 и 1).

Конкретизируем описанный выше способ в случае перевода чисел из десятичной системы в двоичную. Целая и дробная части переводятся порознь. Для перевода целой части (или просто целого) числа необходимо разделить ее на основании системы счисления и продолжать делить частные от деления до тех пор, пока частное не станет равным 0. Значения получившихся остатков, взятые в обратной последовательности, образуют искомое двоичное число.

Например: Остаток

25:2 = 12 (1),

12:2 = 6 (0),

6:2 = 3 (0),

3:2=1 (1),

1:2 = 0 (1).

Таким образом, 25₁₀=11001₂.

Для перевода дробной части (или числа, у которого «0» целых) надо умножить ее на 2. Целая часть произведения будет первой цифрой числа в двоичной системе. Затем, отбрасывая у результата целую часть, вновь умножаем на 2 и т. д. Заметим, что конечная десятичная дробь при этом вполне может стать бесконечной (периодической) двоичной. Например:

0,73 ∙ 2 = 1,46 (целая часть 1),

0,46 ∙ 2 = 0,92 (целая часть 0),

0,92 ∙ 2 = 1,84 (целая часть 1),

0,84 ∙ 2 = 1,68 (целая часть 1) и т. д.

В итоге

0,73₁₀ = 0,1011...₂.

Над числами, записанными в любой системе счисления, можно производить раз­личные арифметические операции. Так, для сложения и умножения двоичных чисел необходимо использовать таблицу.

Таблицы сложения и умножения в двоичной системе

Заметим, что при двоичном сложении 1 + 1 возникает перенос единицы в стар­ший разряд точь-в-точь как в десятичной арифметике:

Деление осуществляется по тому же алгоритму что и в десятичной системе – «деление уголком». От делимого выделяется часть большая делителя, но не больше чем на разряд. В результате ставится 1, и записывается делитель под делимым, сносится следующая цифра, если получившееся значение числа превосходит делитель, пишется – 1, если нет – 0 и сносится следующая цифра, и т. д., до получения результата или достижения требуемой точности.

Например, найти частное чисел 1000001₂ и 101₂.