8.4. Робастные методы и процедуры

Многие «наилучшие» оценки в статистике (например, наиболее распространенная на практике оценка среднего значения случайной величины ) обладают тем дефектом, что они являются наилучшими лишь в случае, если выборка наблюдений получена из нормально распределённой совокупности данных и быстро теряют свои оптимальные свойства по мере отклонения распределения от нормального, т.е. являются неустойчивыми к отклонениям от нормального распределения. В качестве характеристики устойчивости оценки можно предложить понятие робастности.

Определение робастности оценки. Пусть случайная величина Х имеет плотность распределения вероятностей , где вид функции f известен, а - неизвестный параметр (может быть величиной векторной). Оценка параметрапроизводится поn наблюдениям х₁,х₂,…,х_n. В классической статистике качество оценки определяется её дисперсией D_f, вычисленной в предположении, что выборка получена из генеральной совокупности с плотностью распределения вероятностей .

Определим понятие -окрестности распределения f:

где 0<<1, а h(x) – произвольная плотность распределения вероятностей.

Назовём оценку робастной, если для неё имеет место. То есть робастная оценка – это такая оценка, которая в наихудшем случае (когда достигается) имеет наименьшую дисперсию. Нахождение робастной оценки отвечает решению, как говорят в математике, минимаксной задачи. Минимаксное значениеесть гарантированный верхний порог дисперсии оценки для любого распределения f из -окрестности.

Минимаксная стратегия широко распространена в таком разделе теории операций как теория игр. В определённом смысле робастная процедура – это «игра» исследователя с природой.

Робастная оценка среднего значения. Если параметр играет роль центра распределения (среднего значения), то f(x,)=f(x-). Робастная оценка параметра в этом случае находится по n наблюдениям х₁,х₂,…,х_n решением следующей задачи:

Если f(x,) – плотность вероятностей нормального распределения, то

, (8.29)

Робастная оценка в этом случае представляет собой некий гибрид оценки средней арифметической () и выборочной медианы (med{x_i}). Она совмещает в себе эффективность первой оценки и устойчивость второй. Их соотношение определяется величиной степени засорения (0<<1) через величину к=к(). Если 0 (к), то оценка близка к среднему арифметическому. Если 1 (к0) , то оценка близка к выборочной медиане.

Робастная оценка имеет вид:

где - вариационный ряд выборочных значений; m=[n], =(k())=(). Значения =() можно найти в таблице 2 [ 6 ].

Таблица 2.

Значения уровня урезания =()

Робастная регрессия. Уравнение регрессии, получаемое методом наименьших квадратов, имеет существенный дефект, заключающийся в том, что при наличии грубых ошибок в данных оценки его коэффициентов сильно искажаются, т.е. являются неустойчивыми к отклонениям от обычного предположения в регрессионном анализе, что ошибки в модели регрессии y=a+b₁x₁+…+b_px_p+ имеют нормальное распределение.

Коэффициенты робастной регрессии вычисляются решением задачи:

где (t) имеет вид (8.29).