В соответствии с (9.3) имеем:

,

откуда

Так как величина (1 – x_i) также имеет равномерное распределение на отрезке [0;1], то формула (9 . 4) может быть записана другим способом:

, (9.4)

Однако формула (9.3) не для всех распределений может быть использована по следующим причинам:

• зависимость y_i = y (x_i) нельзя получить в явном виде;

• зависимость y_i = y (x_i) является сложной для численных расчетов. В этом случае используют приближенные методы, например метод ступенчатой аппроксимации и предельные теоремы теории вероятности.

Метод ступенчатой аппроксимации. Зависимость плотности распределения f (y) от возможных значений случайной величины y представляется графически в интервале изменения y от a до b. Если случайная величина задана на бесконечном интервале, то производим усечение распределения с заданной точностью. В данном случае указанная плотность f ( y) может быть получена также и экспериментально. Разобьем отрезок[a,b] на n, частей таких, что:

где a_i – координата точки разбиения (i = 0, 1, 2, …, n).

Тогда вероятность того, что случайная величина y попадет в один из интервалов,

То есть попадание на любой отрезок [a_i, a_i+1] случайной точки равновероятно. На каждом из интервалов функция f (y) аппроксимируется ступенчатой функцией так, чтобы значение f (y) в каждом интервале было постоянным; тогда координата случайной точки может быть представлена как y_i = a_i + c_i, где c_i - расстояние точки от левого конца интервала. В силу ступенчатой аппроксимации c_i является равномерно распределенной величиной на интервале [0; a_i+1 - a_i]. Правило имитации в этом случае сводится к следующему:

• получаем два числа x₁, x₂ от генератора равномерно распределенных чисел;

• с помощью x₁ находим индекс i = [nx₁] для интервала, где [nx₁] – целая часть числа nx₁, причем [nx₁] £ nx₁

• с помощью числа x₂ находим с_i = x₂ (a_i+1 – a_i);

• находим случайное число, имеющее интересующий нас закон распределения f (y):

.

Таким образом, для получения случайного числа y, имеющего закон f (y), используются два числа от генератора случайных чисел x₁, x_2.

Использование предельных теорем. В некоторых случаях для имитации определенных законов распределения используют предельные теоремы теории вероятностей. Так, например, для получения нормального закона распределения используется свойство сходимости независимых величин к нормальному распределению. Метод обратной функции в этом случае оказывается неэффективным, так как получаемый при этом интеграл:

не раскрывает в явную зависимость y_i = y (x_i).

Для получения нормально распределенных чисел с параметрами m_y = 0, s_y = 1 удобен искусственный прием, основанный на центральной предельной теореме теории вероятностей. Для этого в качестве исходных чисел возьмем n равномерно распределенных на отрезке [-1; 1] чисел, получаемых из интервала [0;1] по правилу: z_i = 2x_i – 1.

Сформируем величину z согласно следующей формуле:

По центральной предельной теореме при достаточно большом значении n величина z может считаться нормально распределенной с параметрами

Проведя нормирование величины z_i получим, что величина

, (9.5)

будет иметь нормальное распределение с параметрами m_u = 0 и s²_u =1. Практически установлено, что при n ³ 8 формула (9.5) дает вполне хорошие результаты.

Имитация дискретных случайных величин. Из всего множества законов распределения дискретных случайных величин рассмотрим наиболее часто встречающиеся в задачах имитации систем управления:

• величины y_i имеют биномиальное распределение;

• величины y_i имеют пуассоновское распределение с параметром a.

В первом случае имитация величины y_i сводится к n-кратной имитации эксперимента с двумя исходами: x_ij = 1 с вероятностью P и x_ij = 0 с вероятностью 1 – P (j = 1, 2, …, n), что реализуется по уже рассмотренной выше схеме имитации дискретных случайных событий. Тогда:

имеет распределение, близкое к биномиальному:

, i=0,1,2,…….,n;

Во втором случае необходимо воспользоваться предельной теоремой Пуассона: если P₀ - вероятность наступления события A при одном испытании, то вероятность наступления i события при n независимых испытаниях в случае, если n ® ¥ и P₀ ® 0, асимптотически стремится к (9.6) при

, i=0,1,2,…….,n;

Поэтому имитация в этом случае проводится так же, как и в первом, только при условии, что

Чем больше значение n, тем больше распределение чисел y_i будет приближаться к закону Пуассона (9.6). Значение n выбирается из условия (9.7) при известном параметре a.

Имитация потоков дискретных событий. Под потоком событий, как ранее было отмечено, понимают последовательность однородных событий, происходящих в какие-то, вообще говоря, случайные моменты времени. В системе управления мы имеем дело с различными видами потоков (например, потоки задач, вызовов, справок в информационных системах; потоки отказов и восстановлений; потоки команд управления типа «включить», «отключить» в сложных иерархических системах управления рассредоточенными объектами; потоки требований на занятие определенного ресурса, причем в вычислительных системах – требование на занятие магистрали, внешнего запоминающего устройства, процессора, в системах связи – требование на занятие канала связи и т.д.).

При имитационном моделировании поток событий чаще всего воспроизводится через интервалы времени между соседними событиями. Если время между соседними событиями случайно, то в зависимости от вида распределения воспроизведение его в ЭВМ происходит в соответствии с теми способами, которые были рассмотрены при имитации непрерывных случайных величин, причем случайной величиной является длительность интервала между соседними событиями. Например, для простейшего потока событий время между событиями подчинено показательному закону; следовательно, имитация данного потока должна происходить в соответствии с выражением (9.4). Модификация простейшего потока – поток Эрланга получается в результате имитации простейшего потока и последующего просеивания его событий в соответствии с порядком этого потока. Регулярный поток в системе легко имитируется, так как он задается постоянным временем интервала между событиями. Аналогичным образом могут быть смоделированы и потоки более общего вида через задание соответствующего распределения интервалов между соседними событиями в потоке.

Рассмотренные выше способы имитации случайных факторов являются далеко не полным перечнем способов моделирования различных возможных случайных ситуаций, возникающих в системе управления.