Дифференциальные уравнения простейших цепей;

В радиоэлектронике часто возникает необходимость в построении цепей, сигнал на выходе которых пропорционален производной или интегралу от входного воздействия.

Обычно эти задачи решаются приближенно при помощи электрических схем при некоторых условиях, накладываемых на сигнал. Рассмотрим схему, состоящую из последовательно соединенных емкости и активного сопротивления (рис. 8):

Рис .8

Запишем для нее дифференциальное уравнение, связывающее входное и выходное напряжение. Так как ток через емкость равен

и в соответствии с законами Кирхгофа и Ома

,

то

откуда получаем

При условии

имеем приближенное равенство

т.е. схема в этом случае приближенно выполняет операцию дифференцирования.

Если же имеет место противоположное неравенство, т.е.

то получаем приближенное равенство вида

т.е. цепочка в этом случае приближенно повторяет сигнал.

Условие (1) характеризует медленное изменение напряжения, а условие (2) – быстрое, т.е схема рис.3 хорошо дифференцирует медленные функции, плохо быстрые. Из выражения (1) видно, что условие лучше выполняется при малой величине произведения CR, называемой постоянной времени.

Однако о скорости изменения функции лучше судить по ее спектральному составу: чем выше максимальная частота спектра, тем больше скорость изменения сигнала.

Как было показано раньше, операции дифференцирования сигнала во временной области соответствует в частотной области умножение спектра входного сигнала на величину ј . Т.е. идеально дифференцирующая цепь должна иметь частотный коэффициент передачи вида:

где а –постоянный множитель с размерностью [1/ ].

Как было показано выше, частотный коэффициент передачи цепочки рис.8 равен

и при

получаем приближенное равенство, соответствующее идеальному дифференциатору:

(a= ) Отсюда, условие хорошего дифференцирования сигнала данной цепочкой выражается формулой (3) вместо (1), т.е. для синусоидального колебания с частотой  дифференцирование осуществляется при условии, что частота его много меньше величины 1/RC. Если на входе действует сложный сигнал, то он будет хорошо дифференцироваться, если наивысшая частота в спектре входного сигнала много меньше граничной частоты цепочки.

На рис.9 показаны АЧХ и ФЧХ идеального дифференциатора и цепочки вида рис.8

Рис. 9

Если теперь выходное напряжение снимать с емкости (т.е. ), то

дифференциальное уравнение будет иметь вид:

При выполнении условия (1) получаем

а при выполнении условия (2), получим

откуда имеем

т.е. в этом случае получаем на выходе сигнал, пропорциональный интегралу от входного, следовательно, цепочка (рис.10) является интегрирующей. Данная цепочка будет хорошо интегрировать быстро меняющиеся сигналы и плохо – медленные.

Рис. 10

При этом интегрирование выполняется тем лучше, чем больше постоянная времени цепи.

В частотной области операция дифференцирования сводится к делению спектра входного сигнала на j . Т.е. частотный коэффициент передачи идеального интегратора должен иметь вид

где b постоянный коэффициент с размерностью [ ].

Для схемы рис.10 частотный коэффициент передачи равен

При выполнении условия = 1/RC , получаем приближенное равенство, соответствующее идеальному интегратору:

АЧХ и ФЧХ идеального интегратора и цепочки вида рис.10 показаны на рис. 11

Рис. 11

Ну и конспект)