Встроенные функции MathCad законов распределения вероятностей;

Основные инструменты Mathcad для решения задач теории вероятностей.

Определение функции распределения дискретной случайной величины и построение ее графика ~ Распределение дискретного случайного вектора ~ Библиотека стандартных распределений 

Определение функции распределения дискретной случайной величины и построение ее графика

Дискретная случайная величина   с вероятностями   может быть задана распределением - таблицей вида

Такие таблицы в среде Mathcad удобно хранить в виде матрицы размерности  .

Функция распределения случайной величины, имеющей приведенное выше распределение, имеет вид

В приведенном ниже примере показано, как в Mathcad можно определить дискретную случайную величину, ее функцию распределения и построить график функции распределения.

ПРИМЕР 1. Определим случайную величину, заданную приведенным ниже распределением. Определим в Mathcad эту случайную величину, определим ее функцию распределения и построим график функции распределения. Дискретная случайная величина имеет распределение

Распределение дискретного случайного вектора

Распределение дискретного случайного вектора 

также удобно хранить в матрице размерности  . Первому элементу первой строки этой матрицы присваивается нулевое значение, остальные элементы первой строки содержат значения случайной компоненты  , элементы первого столбца - значения случайной компоненты  , а остальные элементы - соответствующие вероятности: элемент, расположенный в  -м столбце  -й строки содержит значение вероятности   того, что случайный вектор   принимает значение  .

В приведенном ниже примере показано, как в Mathcad можно определить двумерный случайный вектор.

ПРИМЕР 2.  Определим в Mathcad двумерный случайный вектор. Случайный вектор задан следующей таблицей:

Библиотека стандартных распределений

Для вычислений со случайными величинами (непрерывными и дискретными) в Mathcad есть богатая библиотека встроенных функций наиболее распространенных стандартных распределений. Каждое распределение представлено в библиотеке тремя функциями - плотностью вероятностей для непрерывных распределений и функцией, вычисляющей вероятность заданного значения - для дискретных распределений, функцией распределения и функцией, обратной к функции распределения.

Например, для нормального распределения - это функции  ,  и  . Значением функции   является значение в точке  плотности вероятностей случайной величины  , имеющей нормальное распределение с математическим ожиданием   и дисперсией  ; значение функции   - значение функции распределения этой же случайной величины  ; значением функции   является решение уравнения  , где   - функция распределения, определенная функцией  , т.е. значением   является квантиль уровня   нормально распределенной случайной величины. Имена всех встроенных функций, определяющих плотности вероятностей, начинаются с буквы  , определяющих функции распределения - с буквы  , определяющих квантили - с буквы  .

Ниже приведен список всех распределений, представленных в библиотеке Mathcad, и имена соответствующих функций:

бета-распределение -  ,  ,  ;

биномиальное распределение -  ,  ,  ;

распределение Коши-  ,  , ;

-распределение-  ,  ,  ;

экспоненциальное распределение -  ,  ,  ;

распределение Фишера, F-распределение -  ,  ,  ;

Гамма-распределение -  ,  ,  ;

геометрическое распределение -  ,  ,  ;

логнормальное распределение -  ,  ,  ;

логистическое распределение -  ,  ,  ;

отрицательное биномиальное распределение -  ,  ,  ;

нормальное распределение -  ,  ,  ;

распределение Пуассона -  ,  ,  ;

распределение Стьюдента -  ,  ,  ;

равномерное распределение -  ,  ,  ;

распределение Вейбулла -  ,  ,  .

В приведенном ниже примере построены графики и выполнены вычисления, демонстрирующие некоторые основные свойства функций, связанных со стандартным нормальным распределением  .

ПРИМЕР 3. Построим график плотности вероятностей и функции распределения для стандартного нормального распределения. Вычислим квантиль a уровня 0.1 и значение функции распределения в точке x = a (т.е. проверим правильность вычисления квантили).

Кроме перечисленных функций, в библиотеке встроенных функций Mathcad есть функция Лапласа (интеграл ошибок)  .

Для вычисления числовых характеристик дискретных и непрерывных случайных величин в Mathcad есть операторы интегрирования и дифференцирования вычисления конечных сумм и суммирования рядов, которые могут быть выполнены щелчком мыши по кнопке в панели  и заполнением соответствующих помеченных полей.