математика (экзаменационные вопросы)1-30

Элементы комбинаторики. Перестановки. Сочетания. Размещения.

Комбинато́рика (Комбинаторный анализ) — раздел математики, изучающий дискретные объекты, множества (сочетания, перестановки, размещения и перечисления элементов) и отношения на них (например, частичного порядка). Комбинаторика связана со многими другими областями математики — алгеброй, геометрией, теорией вероятностей, и имеет широкий спектр применения в различных областях знаний (например в генетике, информатике, статистической физике).

Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход Лейбницем, который в 1666 году опубликовал свой труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве».

Примеры комбинаторных конфигураций и задач

Для формулировки и решения комбинаторных задач используют различные модели комбинаторных конфигураций. Примерами комбинаторных конфигураций являются:

Размещением из n элементов по k называется упорядоченный набор из k различных элементов некоторого n-элементного множества.

Перестановкой из n элементов (например чисел 1,2,…,n) называется всякий упорядоченный набор из этих элементов. Перестановка также является размещением из n элементов по n.

Сочетанием из n по k называется набор k элементов, выбранных из данных n элементов. Наборы, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, этим сочетания отличаются от размещений.

Композицией числа n называется всякое представление n в виде упорядоченной суммы целых положительных чисел.

Разбиением числа n называется всякое представление n в виде неупорядоченной суммы целых положительных чисел.

Примерами комбинаторных задач являются:

Сколькими способами можно разместить n предметов по m ящикам так, чтобы выполнялись заданные ограничения?

Сколько существует функций F из m-элементного множества в n-элементное, удовлетворяющих заданным ограничениям?

Сколько существует различных перестановок из 52 игральных карт?

Ответ: 52! (52 факториал) то есть 80658175170943878571660636856403766975289505440883277824000000000000 или примерно 8.0658 × 10⁶⁷.

При игре в кости бросаются две кости и выпавшие очки складываются, сколько существует комбинаций, таких, что сумма очков на верхних гранях равна двенадцати?

Решение: Каждый возможный исход соответствует функции (аргумент функции — это номер кости, значение — очки на верхней грани). Очевидно, что лишь 6+6 даёт нам нужный результат 12. Таким образом существует лишь одна функция, ставящая в соответствие 1 число 6, и 2 число 6. Или, другими словами, существует всего одна комбинация, такая, что сумма очков на верхних гранях равна двенадцати.

Содержание