Представление бинарных отношений графами.

Под бинарным отношением на множестве M мы понимаем произвольное подмножество EМMxM.

Графом отношения называется ориентированный граф, в котором любая дуга (v,w) существует только в том случае, если элементы v и w, представляемые вершинами v и w, находятся в данном бинарном отношении r, т.е. vrw.

Граф отношения является наглядной формой представления отношения r, так как он полностью перечисляет все упорядоченные пары вершин-элементов, для которых отношение r имеет место. Граф отношения может обладать специальными свойствами: рефлексивностью, симметричностью, антисимметричностью, транзитивностью и т.д., отражающими соответствующие свойства отношения.

(а) Отношение r называется рефлексивным на множестве M, если для всякого aОM верно a ra. Отношение r называется нерефлексивным на множестве M, если ни для какого aОM не выполняется a ra.

(б) Будем говорить, что граф отношения является рефлексивным, если каждая вершина имеет петлю, и антирефлексивным, если ни одна вершина петли не имеет.

(а) Отношение r называется симметричным на множестве M, если для каждой пары a и b элементов M из a rb следует bra. Отношение r называется антисимметричным на множестве M, если для несовпадающих элементов a и b из arb следует не bra.

(б) Будем говорить, что граф отношения является симметричным, если каждой дуге (v,w) соответствует дуга (w,v), и антисимметричным, если каждая дуга (v,w) исключает существование дуги (w,v) (заметим, что антисимметричный граф может как иметь петли, так и не иметь их!).

(а) Отношение r называется транзитивным на множестве M, если для любых трех элементов a,b и g, принадлежащих M, из arb и brg следует arg. Отношение r называется антитранзитивным на множестве M, если для любых трех элементов a,b и g, принадлежащих M, из arrb и brg следует не arg.

(б) Будем говорить, что граф отношения является транзитивным, если существование дуг (v,w) и (w,u) означает существование дуги (v,u), и антитранзитивным, если существование дуг (v,w) и (w,u) означает несуществование указанной дуги. ¦¦¦

Отношение r на множестве M, которое одновременно рефлексивно, симметрично и транзитивно, называется отношением эквивалентности.

Графом отношения эквивалентности называется граф, являющийся рефлексивным, симметричным и транзитивным.

Отношение r называется полным отношением, если для всякой пары a,b несовпадающих элементов множества M имеет место arb, либо bra. Отношение, не являющееся полным, называется неполным.

Граф полного отношения (полный граф) характеризуется наличием хотя бы одной дуги для любой пары вершин. В графе неполного отношения некоторые пары вершин не соединены дугами.

(а) Отношение r называется отношением порядка, если оно анти-симметричное и транзитивное.

Соответственно, графом отношения порядка называется антисим-метричный и транзитивный граф отношения.

(б) Отношение r называется отношением полного порядка (полным порядком), если оно антисимметричное, транзитивное и полное. Отношение r называется отношением неполного порядка (неполным порядком), если оно антисимметричное, транзитивное и неполное.

Графом отношения полного порядка называется антисимметричный, транзитивный и полный граф отношения. Графом отношения неполного порядка называется антисимметричный, транзитивный и неполный граф отношения.

(в) Отношение называется отношением строгого порядка, если оно антирефлексивное, антисимметричное и транзитивное. Отношение называется отношением нестрогого порядка, если оно рефлексивное, антисимметричное и транзитивное.

Графом отношения строгого порядка называется антирефлексивный, антисимметричный и транзитивный граф отношения. Графом отношения нестрогого порядка называется рефлексивный, антисимметричный и транзитивный граф отношения.