7.3. Разработка, построение и исследование моделей

Любые методы системного анализа опираются на математическое описание тех или иных фактов, явлений, процессов. Наше знание всегда относительно, поэтому описание на любом языке также отражает лишь некоторые стороны явлений и никогда не является абсолютно полным. В настоящее время широкое распространение получило слово "модель". Употребляя слово "модель", "модельное описание", мы будем иметь в виду некоторое описание, отражающее именно те особенности изучаемого процесса, которые и интересуют исследователя. Точность, качество такого описания определяются прежде всего соответствием модели тем требованиям, которые предъявляются к исследованию, соответствием получаемых с помощью модели результатов наблюдаемому течению процесса [ 4 ].

Если при описании моделей используется язык математики, то говорят о математических моделях. Любая научная дисциплина всегда имеет дело только с приближенным, "модельным" описанием. Но эти модели могут использовать самые разные языки (и символы). Для того, чтобы их отличить от математических моделей, часто используют термины "содержательная модель", "вербальная модель" и др. Построение математических моделей является основой всего системного анализа. Это центральный этап исследования или проектирования любой системы. От качества модели зависит судьба всего последующего анализа Построение математических моделей является основой всего системного анализа. Это центральный этап исследования любой системы. От качества модели зависит судьба всего последующего анализа.

Построение моделей - всегда процедура неформальная, и, конечно, оно очень сильно зависит от исследователя, его опыта, таланта, всегда опирается на определенный опытный материал, в связи с чем мы говорим, что процесс моделирования имеет феноменологическую основу. Модель должна достаточно правильно отражать явления, однако одного этого еще мало. Она должна быть удобной для использования. Поэтому степень детализации модели, форма ее представления определяются целями исследования и непосредственно зависят от исследователя. Работая с одним и тем же опытным материалом, разные исследователи могут представлять его различным образом.

Сегодня математическое описание, построение математических моделей охватывает чрезвычайно обширные области знания, и выработано немало принципов и подходов, носящих в современных условиях уже достаточно общий характер. Основная задача научного анализа - выделить реальные движения из множества мысленно допустимых, сформулировать принципы их отбора. Проблема математического моделирования состоит в описании этих принципов отбора в тех терминах и переменных, которые наиболее полно характеризуют изучаемый предмет. Принципы отбора сужают множество допустимых движений, отбрасывая те, которые не могут быть реализованы. Чем более совершенна модель, тем уже становится множество реальных движений, тем точнее оказывается прогноз. В различных областях знания принципы отбора движений разные.

Принято различать три уровня организации материи: неживая материя, живая материя и самая высокая организация материи - мыслящая, познающая себя материя - общество. Такое деление оправдано качественно различными принципами отбора реальных движений, не сводимыми к принципам нижних уровней организации.[4]. На самом нижнем уровне - уровне неживой материи - основными принципами отбора являются законы сохранения вещества, импульса, энергии и т. д. Любое моделирование должно начинаться с выбора исследователем основных переменных, с помощью которых он записывает законы сохранения. Но тех принципов отбора реальных движений, которые свойственны неживой природе, недостаточно, чтобы объяснить содержание процессов, происходящим в живом мире. При функционировании живых организмов происходит отбор движений (конечно, согласно законам неживой материи), которые не являются следствием законов сохранения, определяющих течение процессов в неживой природе. Здесь дело осложняется тем, что живой материи свойственны целесообразные действия, поэтому объяснить наблюдаемое в живом мире без использования понятий обратной связи и информации оказывается невозможным.

Живой организм стремится сохранить свою стабильность - гомеостазис. Это означает, что при различных внешних условиях он должен вести себя так, чтобы его состояние не вышло из той области параметров, которая обеспечивает возможность продолжения существования организма. Любой живой организм обладает рецепторами (датчиками), позволяющими ему оценить свое положение по отношению к границе гомеостазиса (вектор Х), и способностью к определенным действиям (вектор U). Таким образом, получая информацию (сигнал) об окружающем его мире, он формирует свои действия в зависимости от характера этой информации. Последнее означает, что действия живого организма, то есть реальные движения, выбираются вполне определенным образом - с помощью обратной связи U = f(х) организм стремится уйти от своей гомеостатической границы. Это означает, что живой организм обладает вполне определенным поведением: он способен изменять свое положение по отношению к границе области гомеостазиса, он способен изменять в определенных границах свои внутренние характеристики, меняя тем самым структуру области гомеостазиса. В известных условиях организм может изменять и сами характеристики окружающей среды.

Понятие "обратная связь" родилось в технике. И здесь его использование вполне уместно, ибо технические системы - это порождение целенаправленной деятельности человека. Технические системы можно рассматривать как четвертый уровень организации материи - неживая материя, созданная целенаправленной деятельностью людей. Поэтому понятие информации, обратной связи вполне уместны при описании технических систем. Например, структура обратной связи, реализуемой автопилотом, - следствие не законов сохранения, а замысла конструктора. На общественном уровне организации материи возникает совершенно новое явление - трудовая деятельность. Именно поэтому для описания моделей в этой области мы должны пользоваться терминами трудовой деятельности людей (экономическими терминами). В качестве примера рассмотрим известные балансовые соотношения производства.

Обозначим через х вектор производимой продукции. Его компоненты - это количества отдельных видов произведенной продукции. Например, х1 - это количество выплавленной стали, х2 - цветных металлов, х3 - металлорежущих станков и т. д. Через А = (aij) обозначим матрицу прямых затрат, то есть величина aij определяет количество продукции вида i, необходимое для производства единицы продукции вида j. Тогда очевидно следующее балансовое соотношение:

х = Ах + у, (7.1)

или, в координатной форме,

, i, j = 1, . . . , n (7.2

Вектор у = {у¹, . . . уⁿ} называется вектором конечного продукта (этот продукт может быть использован на инвестиции, потребление, отправлен на склад и т. д.).

Соотношения являются простейшей экономической моделью, так называемой моделью Леонтьева (по имени американского экономиста В. В. Леонтьева, который впервые, еще в тридцатые годы, начал использовать модели подобного рода) [7]. Эта модель использует только законы сохранения (балансовые соотношения). Балансовые модели в экономике описывают потоки материи - материальных ценностей, продуктов. В настоящее время существует обширная теория подобных (продуктовых) моделей.

Несмотря на все трудности, математическое описание, то есть математическое моделирование, превратилось в развитое научное направление. Конечно, в разных областях человеческого знания модели играют различную роль. Если в физике и технике исследование математических моделей - это один из основных методов исследования и проектирования, то в проблемах изучения биологических и социальных макросистем математические модели служат не только для получения точных количественных характеристик, сколько для нахождения оценок, позволяющих видеть допустимые границы наших действий или возможности исследуемых процессов, тенденции их развития.

Рассмотрим сложившуюся в настоящее время некоторую условную классификацию математических моделей по характеру и способу использования произвольных функций и параметров, которые они содержат [4]:

а) Модели без управления. Они описывают динамические процессы (с помощью, например, дифференциальных или разностных уравнений), которые не содержат свободных параметров или функций. К их числу относится большинство чисто прогностических моделей, когда заданное начальное состояние определяет траекторию процесса. Модели такого рода могут быть и стохастическими, например, они могут содержать случайные величины и функции:

х = f(х, t, g), (7.3)

где g - некоторый случайный вектор с известным законом распределения. В этом случае нас будут интересовать не отдельные траектории, а их статистические свойства, например среднее значение.

Модели подобного рода являются типичными для описания процессов, происходящих в неживой природе.

б) Модели, которые могут быть использованы для оптимизации некоторых действий. Рассмотри динамический процесс, модель которого описывается уравнением вида

х = f(х, t, u), (7.4)

где выбор функции u (t, х) находится в распоряжении какого -то субъекта. Вектор - функция u (t, х) называется управлением. Управление выбирается из условия достижения некоторой цели. Весьма распространенный класс задач с помощью данной модели можно описать следующим образом: за время Т перевести систему из состояния х (0) = х₀ в состояние х (Т) = х_т так, чтобы "затраты" были минимальными, т. е.

(7.5)

Описанными типами моделей еще не охватывается большое количество ситуаций, необходимость изучения которых и привела к появлению дисциплины, именуемой системным анализом, - это ситуации, которые не могут быть полностью формализованы и для изучения которых необходимо включение в математическую модель функционирующего "биологического" звена – человека (эксперта).