5.4.1 Процесс конструирования дерева решений

Напомним, что рассматриваемая нами задача классификации относится к стратегии обучения с учителем, иногда называемого индуктивным обучением. В этих случаях все объекты тренировочного набора данных заранее отнесены к одному из предопределенных классов.

Алгоритмы конструирования деревьев решений состоят из этапов "построение" или "создание" дерева (tree building) и "сокращение" дерева (tree pruning). В ходе создания дерева решаются вопросы выбора критерия расщепления и остановки обучения (если это предусмотрено алгоритмом). В ходе этапа сокращения дерева решается вопрос отсечения некоторых его ветвей.

Критерий расщепления

Процесс создания дерева происходит сверху вниз, т.е. является нисходящим. В ходе процесса алгоритм должен найти такой критерий расщепления, иногда также называемый критерием разбиения, чтобы разбить множество на подмножества, которые бы ассоциировались с данным узлом проверки. Каждый узел проверки должен быть помечен определенным атрибутом. Существует правило выбора атрибута: он должен разбивать исходное множество данных таким образом, чтобы объекты подмножеств, получаемых в результате этого разбиения, являлись представителями одного класса или же были максимально приближены к такому разбиению. Последняя фраза означает, что количество объектов из других классов, так называемых "примесей", в каждом классе должно стремиться к минимуму.

Существуют различные критерии расщепления. Наиболее известные - мера энтропии и индекс Gini. При помощи индекса Gini атрибут выбирается на основании расстояний между распределениями классов.

Если дано множество T, включающее примеры из k классов, индекс Gini, т.е. gini(T), определяется по формуле:

где T - текущий узел, p_j – вероятность (доля) класса j в узле T, n – количествообъектов, k – количество классов.

Энтропия или прирост информации. Мера количества информации – это энтропия, а в нашем случае это мера разнообразия классов в узле. В результате разбиения должны образовываться узлы с меньшим разнообразием состояний выходной переменной. Следовательно, энтропия падает, а количество внутренней информации в узле растет. Формально энтропия определенного узла Т дерева решений определяется так:

Энтропия всего разбиения – сумма энтропий всех узлов, умноженных на долю записей каждого узла в общем числе записей:

Энтропия всего разбиения – сумма энтропий всех узлов, умноженная на долю записей каждого узла в общем числе записей:

.

Для выбора атрибута расщепления используется критерий, называемый приростом информации или уменьшением энтропии:

.

В качестве наилучшего атрибута для использования в разбиении S выбирается тот, который обеспечивает наибольший прирост информации Gain(S).

Большое дерево не означает, что оно "подходящее". Чем больше частных случаев описано в дереве решений, тем меньшее количество объектов попадает в каждый частный случай. Такие деревья называют "ветвистыми" или "кустистыми", они состоят из неоправданно большого числа узлов и ветвей, исходное множество разбивается на большое число подмножеств, состоящих из очень малого числа объектов. В результате "переполнения" таких деревьев их способность к обобщению уменьшается, и построенные модели не могут давать верные ответы.

В процессе построения дерева, чтобы его размеры не стали чрезмерно большими, используют специальные процедуры, которые позволяют создавать оптимальные деревья, так называемые деревья "подходящих размеров" (Breiman,1984).

Какой размер дерева может считаться оптимальным? Дерево должно быть достаточно сложным, чтобы учитывать информацию из исследуемого набора данных, но одновременно оно должно быть достаточно простым. Другими словами, дерево должно использовать информацию, улучшающую качество модели, и игнорировать ту информацию, которая ее не улучшает.

Тут существует две возможные стратегии. Первая состоит в наращивании дерева до определенного размера в соответствии с параметрами, заданными пользователем.

Определение этих параметров может основываться на опыте и интуиции аналитика, а также на некоторых "диагностических сообщениях" системы, конструирующей дерево решений.

Вторая стратегия состоит в использовании набора процедур, определяющих "подходящий размер" дерева, они разработаны Бриманом, Куилендом и др. в 1984 году. Однако, как отмечают авторы, нельзя сказать, что эти процедуры доступны начинающему пользователю.

Процедуры, которые используют для предотвращения создания чрезмерно больших деревьев, включают: сокращение дерева путем отсечения ветвей; использование правил остановки обучения.

Следует отметить, что не все алгоритмы при конструировании дерева работают по одной схеме. Некоторые алгоритмы включают два отдельных последовательных этапа: построение дерева и его сокращение; другие чередуют эти этапы в процессе своей работы для предотвращения наращивания внутренних узлов.

Остановка построения дерева

Рассмотрим правило остановки. Оно должно определить, является ли рассматриваемый узел внутренним узлом, при этом он будет разбиваться дальше, или же он является конечным узлом, т.е. узлом решением.

Остановка - такой момент в процессе построения дерева, когда следует прекратить дальнейшие ветвления.

Один из вариантов правил остановки - "ранняя остановка" (prepruning), она определяет целесообразность разбиения узла. Преимущество использования такого варианта - уменьшение времени на обучение модели. Однако здесь возникает риск снижения точности классификации. Поэтому рекомендуется "вместо остановки использовать отсечение" (Breiman, 1984).

Второй вариант остановки обучения - ограничение глубины дерева. В этом случае построение заканчивается, если достигнута заданная глубина.

Еще один вариант остановки - задание минимального количества примеров, которые будут содержаться в конечных узлах дерева. При этом варианте ветвления продолжаются до того момента, пока все конечные узлы дерева не будут чистыми или будут содержать не более чем заданное число объектов.

Сокращение дерева или отсечение ветвей

Решением проблемы слишком ветвистого дерева является его сокращение путем отсечения (pruning) некоторых ветвей.

Качество классификационной модели, построенной при помощи дерева решений, характеризуется двумя основными признаками: точностью распознавания и ошибкой.

Точность распознавания рассчитывается как отношение объектов, правильно классифицированных в процессе обучения, к общему количеству объектов набора данных, которые принимали участие в обучении.

Ошибка рассчитывается как отношение объектов, неправильно классифицированных в процессе обучения, к общему количеству объектов набора данных, которые принимали участие в обучении.

Отсечение ветвей или замену некоторых ветвей поддеревом следует проводить там, где эта процедура не приводит к возрастанию ошибки. Процесс проходит снизу вверх, т.е. является восходящим. Это более популярная процедура, чем использование правил остановки. Деревья, получаемые после отсечения некоторых ветвей, называют усеченными.

Если такое усеченное дерево все еще не является интуитивным и сложно для понимания, используют извлечение правил, которые объединяют в наборы для описания классов. Каждый путь от корня дерева до его вершины или листа дает одно правило. Условиями правила являются проверки на внутренних узлах дерева.

Алгоритмы. На сегодняшний день существует большое число алгоритмов, реализующих деревья решений: CART, C4.5, CHAID, CN2, NewId, ITrule и другие.

Алгоритм CART

Алгоритм CART (Classification and Regression Tree), как видно из названия, решает задачи классификации и регрессии.

Атрибуты набора данных могут иметь как дискретное, так и числовое значение.

Алгоритм CART предназначен для построения бинарного дерева решений. Бинарные деревья также называют двоичными.

Другие особенности алгоритма CART:

• функция оценки качества разбиения;

• механизм отсечения дерева;

• алгоритм обработки пропущенных значений;

• построение деревьев регрессии.

Каждый узел бинарного дерева при разбиении имеет только двух потомков, называемых дочерними ветвями. Дальнейшее разделение ветви зависит от того, много ли исходных данных описывает данная ветвь. На каждом шаге построения дерева правило, формируемое в узле, делит заданное множество примеров на две части. Правая его часть (ветвь right) - это та часть множества, в которой правило выполняется; левая (ветвь left) - та, для которой правило не выполняется.

Функция оценки качества разбиения, которая используется для выбора оптимального правила, - индекс Gini - был описан выше. Отметим, что данная оценочная функция основана на идее уменьшения неопределенности в узле. Допустим, есть узел, и он разбит на два класса. Максимальная неопределенность в узле будет достигнута при разбиении его на два подмножества по 50 примеров, а максимальная определенность - при разбиении на 100 и 0 примеров.

Правила разбиения. Напомним, что алгоритм CART работает с числовыми и категориальными атрибутами. В каждом узле разбиение может идти только по одному атрибуту. Если атрибут является числовым, то во внутреннем узле формируется правило вида x_i <= c, Значение c в большинстве случаев выбирается как среднее арифметическое двух соседних упорядоченных значений переменной x_i обучающего набора данных. Если же атрибут относится к категориальному типу, то во внутреннем узле формируется правило xi V(x_i), где V(xi) - некоторое непустое подмножество множества значений переменной x_i в обучающем наборе данных.

Механизм отсечения. Этим механизмом, имеющим название minimal cost-complexity tree pruning, алгоритм CART принципиально отличается от других алгоритмов конструирования деревьев решений. В рассматриваемом алгоритме отсечение - это некий компромисс между получением дерева "подходящего размера" и получением наиболее точной оценки классификации. Метод заключается в получении последовательности уменьшающихся деревьев, но деревья рассматриваются не все, а только "лучшие представители".

Перекрестная проверка (V-fold cross-validation) является наиболее сложной и одновременно оригинальной частью алгоритма CART. Она представляет собой путь выбора окончательного дерева, при условии, что набор данных имеет небольшой объем или же записи набора данных настолько специфические, что разделить набор на обучающую и тестовую выборку не представляется возможным.

Итак, основные характеристики алгоритма CART: бинарное расщепление, критерий расщепления - индекс Gini, алгоритмы minimal cost-complexity tree pruning и V-fold cross-validation, принцип "вырастить дерево, а затем сократить", высокая скорость построения, обработка пропущенных значений.