Раздел 2. «Информационно-логические основы построения эвм» Глава 5. Представление информации в эвм

После изучения главы студент должен знать:

• Представление информации в ЭВМ:

• Правила выполнения арифметических операций над числами в дополнительном коде.

• Форматы представления чисел в ПК.ASCII коды представления информации.

Информация в компьютере кодируется в двоичной или в двоично-десятичной системах счисления.

Система счисления — способ именования и изображения чисел с помощью символов, имеющих определенные количественные значения. В зависимости от способа изображения чисел, системы счисления делятся на позиционные и непозиционные. В позиционной системе счисления количественное значение каждой цифры зависит от ее места (позиции) в числе. В непозиционной системе счисления цифры не меняют своего количественного значения при изменении их расположения в числе. Количество (P) различных цифр, используемых для изображения числа в позиционной системе счисления, называется основанием системы счисления. Значения цифр лежат в пределах от 0 до P – 1. В общем случае запись любого смешанного числа в системе счисления с основанием P будет представлять собой ряд вида:

N = a_m–1 P^m–1 + a_m–2 P^m–2 + ... + a_k P^k + … + a₀ P⁰ +

a_–1 P^–1 + a_–2 P^–2 + ... + a_–s P^–s (1)

Нижние индексы определяют местоположение цифры в числе (разряд):

• положительные значения индексов — для целой части числа (m разрядов);

• отрицательные значения — для дробной (s разрядов).

Максимальное целое число, которое может быть представлено в m разрядах:

(2)

Минимальное значащее, не равное 0 число, которое можно записать в s разрядах дробной части:

N_min = P^-s. (3)

Имея в целой части числа m, а в дробной — s разрядов, можно записать всего P^m+s разных чисел. Двоичная система счисления имеет основание P = 2 и использует для представления информации всего две цифры: 0 и 1, с помощью которых можно записать любое число.

Например, двоичное число 101110,101 равно десятичному числу 46,625.

101110,101₂ = 1 2⁵ + 0 2⁴ + 1 2³ + 1 2² + 1 2¹ + 0 2⁰ + 1 2^–1

+ 0 2^–2 + 1 2^–3 = 46,625₁₀

Перевод из двоичной системы в десятичную можно легко выполнить, надписав над каждым разрядом соответствующий ему вес и сложив затем произведения цифр на их веса. Двоичное число 01000001₂ равно 65_10. Действительно, 2⁶ 1 + 2⁰·1=65 или:

Для перевода числа из позиционной системы счисления с любым основанием в десятичную систему счисления можно воспользоваться выражением (1). Обратный перевод из десятичной системы счисления в систему счисления с другим основанием непосредственно по этой формуле весьма затруднителен, поскольку все арифметические действия, предусмотренные этой формулой, следует выполнять в той системе счисления, в которую число переводится.

Обратный перевод выполняется значительно проще, если предварительно преобразовать отдельно целую и дробную части выражения (1) к виду:

Алгоритм перевода числа из десятичной системы счисления в систему счисления с основанием P:

1. При переводе смешанного числа следует переводить целую и дробную части числа раздельно.

2. Целую часть исходного числа и целые части частных от ее деления последовательно делить на основание P до тех пор, пока очередная целая часть частного не окажется равной 0. Остатки от деления, записанные последовательно справа налево, образуют целую часть числа в системе счисления с основанием P.

3. Дробную часть исходного числа и дробные части получающихся произведений последовательно умножать на основание P до тех пор, пока очередная дробная часть произведения не окажется равной 0 или не будет достигнута нужная точность дроби. Целые части произведений, записанные после запятой последовательно слева направо, образуют дробную часть числа в системе счисления с основанием P.

Рассмотрим перевод смешанного числа из десятичной в двоичную систему счисления на примере числа 46,625.

Целая часть числа – 46. Последовательно делим на 2.

46 : 2 = 23 (остаток 0)

23 : 2 = 11 (остаток 1)

11 : 2 = 5 (остаток 1)

5 : 2 = 2 (остаток 1)

2 : 2 = 1 (остаток 0)

1 : 2 = 0 (остаток 1)

Записываем остатки последовательно справа налево — 101110, 46₁₀=101110₂.

Дробная часть числа - 0,625.

0,625 · 2 = 1,250

0,250 · 2 = 0,500

0,500 · 2 = 1,000

Записываем целые части получающихся произведений после запятой последовательно слева направо — 0,101, то есть: 0,625₁₀ = 0,101₂. Таким образом, 46,625₁₀ = 101110,101₂.