logo search
Полный текст учебника

Раздел 2. «Информационно-логические основы построения эвм» Глава 5. Представление информации в эвм

После изучения главы студент должен знать:

Информация в компьютере кодируется в двоичной или в двоично-десятичной системах счисления.

Система счисления — способ именования и изображения чисел с помощью символов, имеющих определенные количественные значения. В зависимости от способа изображения чисел, системы счисления делятся на позиционные и непозиционные. В позиционной системе счисления количественное значение каждой цифры зависит от ее места (позиции) в числе. В непозиционной системе счисления цифры не меняют своего количественного значения при изменении их расположения в числе. Количество (P) различных цифр, используемых для изображения числа в позиционной системе счисления, называется основанием системы счисления. Значения цифр лежат в пределах от 0 до P – 1. В общем случае запись любого смешанного числа в системе счисления с основанием P будет представлять собой ряд вида:

N = am–1 Pm–1 + am–2 Pm–2 + ... + ak Pk + … + a0 P0 +

a–1 P–1 + a–2 P–2 + ... + a–s P–s (1)

Нижние индексы определяют местоположение цифры в числе (разряд):

Максимальное целое число, которое может быть представлено в m разрядах:

(2)

Минимальное значащее, не равное 0 число, которое можно записать в s разрядах дробной части:

Nmin = P-s. (3)

Имея в целой части числа m, а в дробной — s разрядов, можно записать всего Pm+s разных чисел. Двоичная система счисления имеет основание P = 2 и использует для представления информации всего две цифры: 0 и 1, с помощью которых можно записать любое число.

Например, двоичное число 101110,101 равно десятичному числу 46,625.

101110,1012 = 1 25 + 0 24 + 1 23 + 1 22 + 1 21 + 0 20 + 1 2–1

+ 0 2–2 + 1 2–3 = 46,62510

Перевод из двоичной системы в десятичную можно легко выполнить, надписав над каждым разрядом соответствующий ему вес и сложив затем произведения цифр на их веса. Двоичное число 010000012 равно 6510. Действительно, 26 1 + 20·1=65 или:

Вес

128

64

32

16

8

4

2

1

Цифра

0

1

0

0

0

0

0

1

Для перевода числа из позиционной системы счисления с любым основанием в десятичную систему счисления можно воспользоваться выражением (1). Обратный перевод из десятичной системы счисления в систему счисления с другим основанием непосредственно по этой формуле весьма затруднителен, поскольку все арифметические действия, предусмотренные этой формулой, следует выполнять в той системе счисления, в которую число переводится.

Обратный перевод выполняется значительно проще, если предварительно преобразовать отдельно целую и дробную части выражения (1) к виду:

Алгоритм перевода числа из десятичной системы счисления в систему счисления с основанием P:

  1. При переводе смешанного числа следует переводить целую и дробную части числа раздельно.

  2. Целую часть исходного числа и целые части частных от ее деления последовательно делить на основание P до тех пор, пока очередная целая часть частного не окажется равной 0. Остатки от деления, записанные последовательно справа налево, образуют целую часть числа в системе счисления с основанием P.

  3. Дробную часть исходного числа и дробные части получающихся произведений последовательно умножать на основание P до тех пор, пока очередная дробная часть произведения не окажется равной 0 или не будет достигнута нужная точность дроби. Целые части произведений, записанные после запятой последовательно слева направо, образуют дробную часть числа в системе счисления с основанием P.

Рассмотрим перевод смешанного числа из десятичной в двоичную систему счисления на примере числа 46,625.

Целая часть числа – 46. Последовательно делим на 2.

46 : 2 = 23 (остаток 0)

23 : 2 = 11 (остаток 1)

11 : 2 = 5 (остаток 1)

5 : 2 = 2 (остаток 1)

2 : 2 = 1 (остаток 0)

1 : 2 = 0 (остаток 1)

Записываем остатки последовательно справа налево — 101110, 4610=1011102.

Дробная часть числа - 0,625.

0,625 · 2 = 1,250

0,250 · 2 = 0,500

0,500 · 2 = 1,000

Записываем целые части получающихся произведений после запятой последовательно слева направо — 0,101, то есть: 0,62510 = 0,1012. Таким образом, 46,62510 = 101110,1012.