Курс лекций КИТ

Работа с массивами

Основная часть команд для решения задач линейной алгебры содержится в библиотеке linalg. Поэтому перед решением задач с матрицами и векторами следует загрузить эту библиотеку командой with(linalg).

Способы задания векторов

Для определения вектора в Maple используется команда vector([x1,x2,…,xn]), где в квадратных скобках через запятую указываются координаты вектора. Например:

> x:=vector([1,0,0]);

x:=[1, 0, 0]

Координату уже определенного вектора x можно получить в строке вывода, если ввести команду x[i] , где i  номер координаты. Например, первую координату заданного в предыдущем примере вектора можно вывести так:

> x[1];

Сложение векторов

Сложить два вектора a и b можно с помощью двух команд:

1) evalm(a+b);

2) matadd(a,b).

Скалярное, векторное произведение векторов и угол между векторами

Скалярное произведение двух векторов вычисляется командой dotprod(a,b).

Векторное произведение двух векторов вычисляется командой crossprod(a,b).

Угол между двумя векторами a и b вычисляется с помощью команды angle(a,b).

Норма вектора

Норму (длину) вектора , которая равна , можно вычислить с помощью команды norm(а,2).

Можно нормировать вектор а с помощью команды normalize(a), в результате выполнения которой будет получен вектор единичной длины .

Примеры

1. Даны два вектора: и . Найти и угол между a и b. Для решения этой задачи наберите:

> with(linalg):

> a:=([2,1,3,2]); b:=([1,2,-2,1]);

a:=[2,1,3,2]

b:=[1,2,-2,1]

> dotprod(a,b);

> phi=angle(a,b);

2. Найти векторное произведение , а затем скалярное произведение , где , .

> restart; with(linalg):

> a:=([2,-2,1]); b:=([2,3,6]);

a:=[2, 2,1]

b:=[2,3,6]

> c:=crossprod(a,b);

c:=[ 15, 10,10]

> dotprod(a,c);

3. Найти норму вектора .

> restart; with(linalg):

> a:=vector([1,2,3,4,5,6]): norm(a,2);

Определение матрицы

Для определения матрицы в Maple можно использовать команду matrix(n, m, [[a11,a12,…,a1n], [a21,a22,…,a2m],…, [an1,an2,…,anm]]), где n  число строк, m – число столбцов в матрице. Эти числа задавать необязательно, а достаточно перечислить элементы матрицы построчно в квадратных скобках через запятую. Например:

> A:=matrix([[1,2,3],[-3,-2,-1]]);

В Maple матрицы специального вида можно генерировать с помощью дополнительных команд. В частности диагональную матрицу можно получить командой diag. Например:

> J:=diag(1,2,3);

Генерировать матрицу можно с помощью функции f(i, j) от переменных i, j – индексов матрицы: matrix(n, m, f), где где n - число строк, m – число столбцов. Например:

> f:=(i, j)->x^i*y^j;

> A:=matrix(2,3,f);

Число строк в матрице А можно определить с помощью команды rowdim(A), а число столбцов – с помощью команды coldim(A).

Арифметические операции с матрицами

Сложение двух матриц одинаковой размерности осуществляется теми же командами, что и сложение векторов: evalm(A+B) или matadd(A,B). Произведение двух матриц может быть найдено с помощью двух команд:

evalm(A&*B);
multiply(A,B).

В качестве второго аргумента в командах, вычисляющих произведение, можно указывать вектор, например:

> A:=matrix([[1,0],[0,-1]]);

> B:=matrix([[-5,1], [7,4]]);

> v:=vector([2,4]);

> multiply(A,v);

> multiply(A,B);

> matadd(A,B);

Команда evalm позволяет также прибавлять к матрице число и умножать матрицу на число. Например:

> С:=matrix([[1,1],[2,3]]):

> evalm(2+3*С);

Определители, миноры и алгебраические дополнения. Ранг и след матрицы.

Определитель матрицы А вычисляется командой det(A). Команда minor(A,i,j) возвращает матрицу, полученную из исходной матрицы А вычеркиванием i-ой строки и j-ого столбца. Минор M_ij элемента a_ij матрицы А можно вычислить командой minor(A,i,j). Ранг матрицы А вычисляется командой rank(A). След матрицы А, равный сумме ее диагональных элементов, вычисляется командой trace(A).

> A:=matrix([[4,0,5],[0,1,-6],[3,0,4]]);

> det(A);

> minor(А,3,2);

> det(%);

-24

> trace(A);

Обратная и транспонированная матрицы

Обратную матрицу А ¹ , такую что А ¹А=АА ¹=Е, где Е  единичная матрица, можно вычислить двумя способами:

evalm(1/A);
inverse(A).

Транспонирование матрицы А – это обмен местами строк и столбцов. Полученная в результате этого матрица называется транспонированной и обозначается А'. Транспонированную матрицу А' можно вычислить командой transpose(A).

Например, используя заданную в предыдущем пункте матрицу А, найдем обратную ей и транспонированную:

> inverse(A);

> multiply(A,%);

> transpose(A);

Содержание