4.1.1. Позиционные системы счисления

Системы счисления – это совокупность приемов и правил наименования и обозначения чисел, позволяющих установить взаимнооднозначное соответствие между любым числом и его представлением в виде конечного числа символов.

Все системы счисления можно разделить на позиционные и непозиционные.

Непозиционная система счисления – это система, в которой символы, обозначающие то или иное количество, не меняют своего значения в зависимости от местоположения (позиции) в изображении числа.

Непозиционной системой счисления является самая простая система с одним символом (палочкой). Для изображения какого-либо числа в этой системе надо записать количество палочек, равное данному числу.

Например, запись числа 12 в этой системе будет иметь вид: 111111111111, где каждая палочка обозначена символом 1.

В общем случае непозиционные системы счисления характеризуются сложным способом записи чисел и правилами выполнения арифметических операций. В настоящее время все наиболее распространенные системы счисления относятся к разряду позиционных.

Систему счисления, в которой значение цифры определяется ее местоположением (позицией) в изображении числа, называют позиционной.

Упорядоченный набор символов (цифр) {а₀, а₁,…, а_n}, используемый для представления любых чисел в заданной позиционной системе счисления, называют ее алфавитом, число символов (цифр) алфавита p=n+1 – ее основанием, а саму систему счисления называют p-ичной.

Основание позиционной системы счисления – количество различных символов, используемых для изображения чисел в данной системе счисления.

Самой привычной является десятичная система счисления. Ее алфавит – {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, а основание p=10, то есть в этой системе для записи любых чисел используется только десять разных символов (цифр).

Десятичная система счисления основана на том, что десять единиц каждого разряда объединяются в одну единицу соседнего старшего разряда, поэтому каждый разряд имеет вес, равный степени 10. Следовательно, значение одной и той же цифры определяется ее местоположением в изображении числа, характеризуемым степенью числа 10.

Например, в изображении числа 222.22 цифра 2 повторяется пять раз, при этом первая слева цифра 2 означает количество сотен (ее вес равен 10²); вторая – количество десятков (ее вес равен 10¹), третья - количество единиц (ее вес равен 10⁰), четвертая количество десятых долей единицы (ее вес равен 10^-1) и пятая цифра – количество сотых долей единицы (ее вес равен 10^-2). То есть число 222.22 может быть разложено по степеням числа 10:

222.22 = 2 x 10² + 2 x 10¹ + 2 x 10⁰ + 2 x 10^-1 + 2 x 10^-2

Аналогично любое число в десятичной системе счисления можно представить следующим образом:

1304.5 = 1 x 10³ + 3 x 10² + 0 x 10¹ + 4 x 10⁰ + 5 x 10^-1

Таким образом, любое число А можно представить в виде полинома путем разложения его по степеням числа 10:

A₁₀ = a_n x 10ⁿ + a_n-1 x 10^n-1 + … + a₁ x 10¹ + a₀ x 10⁰ + a_-1 x 10^-1 + … + a_-m x 10^-m + …,

Последовательность из коэффициентов которого представляет собой десятичную запись числа A₁₀:

A₁₀ = a_n a_n-1… a₁ a₀ . a_-1 … a_-m,

Точка, отделяющая целую часть числа от дробной, служит для фиксации конкретных значений каждой позиции в этой последовательности цифр и является началом отсчета.

В общем случае для задания р-ичной системы счисления необходимо определить основание р и алфавит, состоящий из р различных символов (цифр) a_i, i=1,…, р.

За основание системы можно принять любое натуральное число – два, три, четыре и т.д. Обычно в качестве алфавита берутся последовательные целые числа от 0 до (р - 1) включительно.

Для записи произвольного числа в двоичной системе счисления используются цифры 0, 1, троичной – 0, 1, 2, пятеричной – 0, 1, 2, 3 и т.д. В тех случаях, когда общепринятых (арабских) цифр не хватает для обозначения всех символов алфавита системы счисления с основанием р>10, используют буквенное обозначение цифр a, b, c, d, e, f.

В таблице 4.1 приведены алфавиты некоторых систем счисления.

Таблица 4.1.