5.1. Аппарат алгебры логики

Основу любого дискретного вычислительного устройства, в том числе персонального компьютера, составляют элементарные логические схемы. Работа этих схем основана на законах и правилах алгебры логики, которая оперирует двумя понятиями: истинности и ложности высказывания.

Алгебра логики – раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними.

Высказывание – некоторое предложение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.

Аппарат алгебры логики (булевой алгебры) создан в 1854 году Дж. Булем как попытка изучения логики мышления математическими методами. Впервые практическое применение булевой алгебры было сделано К. Шенноном в 1938 году для анализа и разработки релейных переключательных сетей. Результатом чего явилась разработка метода представления любой сети, состоящей из совокупности переключателей и реле, математическими выражениями и принципов их преобразования на основе правил булевой алгебры.

Аппарат булевой алгебры, как и любая другая формальная математическая система состоит из трех множеств: элементов, операций над ними и аксиом.

Элементы. Наименьшим элементом алгебры логики является 0, наибольшим элементом - 1.

Поэтому множество элементов булевой алгебры выбирается бинарным В = {0,1}, а сама алгебра называется бинарной, или переключательной.

Ее элементы называются константами, или логическими 0 и 1, которым в ряде случаев соответствуют бинарные цифры, а в других случаях – логические значения истина (True) и ложь (False).

Операции. Основными, или базовыми, операциями булевой алгебры служат: И (AND), ИЛИ (OR) и НЕ (NOT), табл. 5.1.

Операция И называется логическим умножением или конъюнкцией и обозначается знаком умножения { ×, ^}.

Операция ИЛИ называется логическим сложением или дизъюнкцией и обозначается знаком сложения { +, v}.

Операция НЕ называется логическим отрицанием или инверсией (дополнением) и обозначается знаком { -, ¬}.

Таблица 5.1.