Алгоритм построения дерева Хаффмана

1. Символы входного алфавита образуют список свободных узлов. Каждый узел имеет вес, равный количеству вхождений символа в исходное сообщение.

2. В списке выбираются два свободных узла с наименьшими весами

3. Создается их узел-«родитель» с весом, равным сумме их весов, он соединяется с «детьми» дугами.

4. Одной дуге, выходящей из «родителя», ставится в соответствие бит 1, другой — бит 0.

5. «Родитель» добавляется в список свободных узлов, а двое его «детей» удаляются из этого списка.

6. Шаги, начиная со второго, повторяются до тех пор, пока в списке свободных узлов не останется только один свободный узел. Он и будет считаться корнем дерева

Пример. Построение дерева Хаффмана и префиксных кодов для текста «KOJI_OKOJIO_KOJIOKOJIA»:

Пусть у нас имеется список частот встречаемости всех символов исходного текста. Выпишем их вертикально в ряд в виде вершин будущего графа. Выберем две вершины с наименьшими весами (они соответствуют символам с наименьшим количеством повторений). Объединим эти вершины — создадим новую вершину, от которой проведем ребра к выбранным вершинам с наименьшими весами, а вес новой вершины зададим равным сумме их весов. Расставим на ребрах графа числа 0 и 1, например на каждом верхнем ребре 0, а на каждом нижнем — 1. Чтобы выбранные вершины более не просматривались, мы сотрем их веса (это аналог удаления вершин из списка). Продолжим выполнять объединение вершин, каждый раз выбирая пару вершин с наименьшими весами, до тех пор пока не останется одна вершина. Очевидно, что вес этой вершины будет равен длине сжимаемого массива данных.

Теперь для определения кода каждой конкретной буквы необходимо просто пройти от вершины дерева до этой буквы, выписывая нули и единицы по маршруту следования. В нашем примере символы получат следующие коды:

«О» - 00, «К» - 01 «Л» - 10 «_» - 110 «А» - 111

После того как коды символов построены, остается сгенерировать сжатый массив данных, для чего надо снова прочесть входные данные и каждый символ заменить на соответствующий код. В нашем случае непосредственно код текста будет занимать 39 бит, или 5 байт. Коэффициент сжатия равен 18/5 = 3,6. Для восстановления сжатых данных необходимо снова воспользоваться деревом Хаффмана, так как код каждого символа представляет собой путь в дереве Хаффмана от вершины до конечного узда дерева, соответствующего данному символу. Общая схема процесса восстановления такова: специальный маркер устанавливается в вершину дерева Хаффмана, и сжатый массив данных читается побитово. Если читаемый бит равен О, то маркер перемещается из вершины по верхнему ребру, если 1, то по нижнему. Затем читается следующий бит, и маркер снова перемещается, и т. д., пока маркер не попадет в один из конечных узлов дерева. В восстанавливаемый массив записывается символ, которому соответствует этот конечный узел, маркер снова помещается в вершину дерева, и процесс повторяется.

Код Хаффмана является префиксным. Это означает, что код каждого символа не является началом кода какого-либо другого символа. Код Хаффмана однозначно восстановим, даже если не сообщается длина кода каждого переданного символа.