23.1. Решение уравнений первого порядка

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка:

Требуется найти решение на интервале [x₀, x_n], удовлетворяющее начальному условию y(x₀) = y₀.

Для приближённого решения дифференциального уравнения интервал [x₀, x_n] разбивается на n частей с шагом h:

x_i+1 = x_i + h, i = 0, 1, 2, …, n – 1.

В полученных точках вычисляются значения y_i.

Метод Эйлера. Согласно методу Эйлера, значения y_i определяются по формуле:

y_i+1 = y_i + h  f(x_i, y_i).

Алгоритм метода Эйлера:

1. Ввод n, конечного значения x_n, начального значения x₀ (в переменную x), ввод y₀ (в переменную y).

2. Вычисление h = , x = x₀, y = y₀.

3. Вывод x, y.

4. Вычисление y = y + h  f(x, y), x = x + h.

5. Если x > x_n, то переход к п. 6, иначе – переход к п. 3.

6. Конец вычислений.

Для получения достоверных результатов значение h должно быть достаточно мало, при этом можно не выводить все получающиеся значения x и y. Целесообразно внести изменения в алгоритм программы так, чтобы вычисления проводились с малым шагом, а вывод результатов − с большим.

Метод Рунге-Кутта. Расчетные формулы метода Рунге-Кутта четвертого порядка имеют вид:

k1 = h  f(x_i, y_i),

k2 = h  f(x_i + , y_i + ),

k3 = h  f(x_i + , y_i + ),

k4 = h  f(x_i + h, y_i + k3),

y_i+1 = y_i +  (k1 + 2  k2 + 2  k3 + k4),

x_i+1 = x_i + h, i = 0, 1, 2, …, n – 1.

Для разработки программы, реализующей метод Рунге-Кутта можно использовать тот же алгоритм, что и для метода Эйлера, внеся в него соответствующие изменения.