20.1. Системы линейных уравнений

Система линейных уравнений n-го порядка имеет следующий вид:

или в матричном виде:

AX = B,

где ,,

Корнями системы являются такие значения x₁, x₂, …, x_n, подстановка которых в систему превращает уравнения в тождества.

Метод Гаусса. Метод Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных x₁, x₂,…, x_nпутем преобразования системы уравнений таким образом, чтобы под главной диагональю располагались нули. В полученной системе определяется корень x_n из последнего уравнения, корень x_n–1 – из предпоследнего и т. д.

Рассмотрим алгоритм метода Гаусса:

1. Ввод числа n, обозначающего порядок системы, матрицы A и вектора B.

2. Выполнение п. 3–7 данного алгоритма с изменением номера вычитаемого уравнения k с 1 до n – 1.

3. Выполнение п. 4–7 с изменением номера уравнения i, из которого производится вычитание, с k + 1 до n.

4. Вычисление c = a_ik / a_kk, a_ik = 0.

5. Выполнение п. 6 с изменением номера столбца j c k + 1 до n.

6. Расчет a_ij = a_ij – ca_kj.

7. Вычисление b_i = b_i – cb_k.

8. Определение корня x_n = b_n / a_nn.

9. Выполнение п. 10–13 с изменением номера уравнения i с n – 1 до 1.

10. Подготовка переменной для вычисления суммы s = 0.

11. Выполнение п. 12 с изменением номера столбца j с i + 1 до n.

12. Вычисление s = s + a_ijx_j.

13. Определение x_i = (b_i – s) / a_ii.

14. Вывод значений x₁, x₂, …, x_n.

В данном алгоритме п. 2–7 обеспечивают преобразование матрицы A к треугольному виду (прямой ход метода), а выполнение п. 8–13 позволяет определить корни системы линейных уравнений (обратный ход метода).

Матричный метод.Зная матрицу A, можно вычислить обратную матрицу A^–1, затем умножить ее на систему: A^–1 A  X = A^–1 B. Получится: X = A^–1 B. Элементы вектора Xи являются корнями системы линейных уравнений.