logo search
Информатика и КГ_2014

19. Вычисление интегралов и решение уравнений

19.1. Методы вычисления определенных интегралов

Приближённое вычисление определенного интеграла основано на геометрическом смысле интеграла и сводится к приближенному вычислению площади, ограниченной графиком подынтегральной функцииf(x), прямыми x = a = x0, x = b = xn и осью OX (рис. 19.1).

И

Рис. 19.1. График подынтегральной функции

нтервал[a, b] делится на n равных частей длиной .

Тогда значениям xi = xi-1 + h, i = 1,2, ..., n соответствуют значения yi = f(xi).

Метод прямоугольников. Согласно методу левых прямоугольников, искомая площадь вычисляется как сумма площадей прямоугольников, основание которых равно h, а высота равна соответственно y0 для первого прямоугольника, y1 – для второго и т.д. вплоть до последнего с высотой yn-1. Тогда

Для метода правых прямоугольников аналогично

Метод трапеций. По методу трапеций определяется сумма площадей трапеций, основаниями которых являются ординаты y0, y1 и т. д., а высоты равны h:

Погрешность метода оценивается как , гдеМ – максимальное значение второй производной f(x) на отрезке [a,b]. Используя это соотношение, можно определить количество точек, на которое делится отрезок, исходя из заданной погрешности.

З

начение интеграла, вычисленное по формуле трапеций, равно среднему арифметическому от значений интеграла, вычисленных по формулам левых и правых прямоугольников при том же разбиении.

Рассмотрим алгоритм метода трапеций (рис. 19.2):

1. Ввод a, b, n.

2. Вычисление , x = a + h,

s = 0.

3. Расчет s = s + f(x), x = x + h.

4. Если x > (b – h), то переход к пункту 5, иначе – переход к п. 3.

5. Вычисление значения интеграла

6. Вывод z.

М

Рис. 19.2. Схема алгоритма метода трапеций