logo search
Информатика и КГ_2014

Приближенное решение уравнений

апеций

y = ln(x)

ерепишем исходное уравнение в виде3 – x = ln(x) и построим графики функций y = 3 – x и y = ln(x) (рис. 19.3). Из чертежа видно, что графики пересекаются в единственной точке, абсцисса которой находится внутри отрезка [1, 3]. Знаки функции на концах отрезка разные: f(1) = 3 – 1 – ln(1) > 0, f(3) = 3 – 3 – ln(3) < 0. Значит, данное уравнение имеет один дей-ствительный корень, лежащий внутри отрезка [1, 3], т. е. a = 1, b = 3.

Можно также отделить корни, построив график функции f(x) в приложении Mathcad или в приложении Excel.

После того, как определен отрезок (или отрезки), внутри которого имеется один корень, можно вычислить его с заданной точностью одним из методов.

Метод касательных. При использовании данного метода для вычисления корня уравнения необходимо определить начальное приближение корня x0: x0 = a, если знаки f(a) и f(a) совпадают, и x0 = b, если знаки f(b) и f(b) совпадают. Последовательные приближения корня рассчитываются по формуле

xn+1 = xn – ,n = 0, 1 ,2, ….

Вычисления продолжаются до тех пор, пока не будет выполнено условие xn+1 – xn <= e, где e – требуемая точность вычисления корня.

Рассмотрим алгоритм метода касательных:

1. Ввод значений a, b, e.

2. Вычисление начального приближения корня xn1 = a, если

f(a) f(a) > 0 или xn1 = b в противном случае.

3. Вычисление xn = xn1.

4. Определение очередного приближения корня по формуле

xn1 = xn –

5. Если xn1 – xn > e, то переход к пункту 3, в противном случае – переход к п. 6.

6. Вывод значения корня xn1.

Метод дихотомии (деления отрезка пополам). При использовании метода дихотомии отрезок [a, b] делится пополам. Из полученных двух отрезков для дальнейших вычислений выбирается тот, на концах которого функция f(x) имеет разные знаки. Выбранный отрезок вновь делится пополам. Вычисления продолжаются до тех пор, пока величина последнего из полученных отрезков не станет меньше 2e.

Рассмотрим алгоритм метода дихотомии:

1. Ввод значений a, b, e.

2. Вычисление .

3. Если f(x) = 0, то переход к п. 6, иначе – переход к п. 4.

4. Если f(x)f(a) <= 0, то b = x, иначе – a = x.

5. Если a – b > 2e, то переход к п. 2, иначе – переход к следующему пункту.

6. Вывод значения корня x.