21.3. Модель многомерного объекта

Предположим, что технологический процесс можно описать математической моделью вида

y = b₀ + b₁x₁ +…+ b_nx_n + b₁₂x₁x₂ +…+ b_n–1,nx_n–1x_n,

где y – выходной параметр процесса; b₀, b₁, …, b_n–1,n – искомые неизвестные коэффициенты процесса; x₁, …, x_n – входные параметры процесса.

Соотношения такого вида называются уравнениями регрессии.

Например, для процесса (рис. 21.2), имеющего три входных параметра (фактора), математическая модель примет вид

y = b₀ + b₁  x₁ + b₂  x₂ + b₃  x₃ + b₁₂  x₁  x₂ + b₁₃  x₁  x₃ + b₂₃  x₂  x₃.

Чтобы определить коэффициенты математической модели процесса необходимо провести эксперимент по соответствующему плану, например по плану полного факторного эксперимента.

К

Рис. 21.2. Многомерный объект

z_i = , i = 1, 2, 3.

Здесь x_i0 – значение фактора на базовом (нулевом) уровне, равное среднему значению между минимальным и максимальным значениями; ∆x_i – интервал варьирования по данному фактору.

В случае трех входных параметров план проведения эксперимента имеет вид, представленный на рис. 21.3.

З

В соответствии с методом наименьших квадратов производится вычисление коэффициентов:

Рис. 21.3. План эксперимента

Коэффициент регрессии b (b₀, b₁, …, b_n–1,n.) считается значимым, если выполняется условие

, ,

где Sb – среднеквадратичная ошибка в определении коэффициентов регрессии; t_Т – табличное значение критерия Стьюдента, которое выбирается для числа степеней свободы f1 = m – 1.

Для расчета дисперсии воспроизводимости нужно выполнить дополнительно m опытов (m < N) по любой строчке плана, например, при значениях входных факторов на базовом уровне.

В результате получаются дополнительные значения экспериментальных данных yd₁, yd₂, …, yd_m.

Тогда

Sy² = , yoc = , k = 1, …, m.

В табл. 21.1 приведены значения критерия Стьюдента.

Таблица 21.1