3. Классификация случайный событий

Событие А называется достоверным, если в результате опыта оно обязательно произойдёт Ω.

Событие А называется невозможным, если в результате опыта оно не произойдёт .

Случайные события могут быть простыми и сложными. Простому событию не предшествуют другие события. При рассмотрении сложных событий предполагают, что причиной рассматриваемого события послужило другое (предшествующее ему) событие. Поэтому для расчёта его вероятностных характеристик необходимо рассмотрение событий в комплексе.

Действия над событиями:

1. Объединение двух событий – это событие, означающее что происходит первое или второе событие

АUВ = С ={/A,[или] B}.

А = {2,4,6} В = {3,6} АUВ = {2,3,4,6}

Очевидно: АU - достоверное событие

АU = А

АUА = А

2. Пересечением (умножением) двух событий называется событие, означающее что происходит и первое и второе событие

А∩В= С ={/A,[и] B}.

А∩В = А  В = {6}.

Очевидно: А = А

А = 

АА = А.

3. Разностью двух событий называется событие, состоящее в том, что произойдёт первое, но не произойдёт второе событие

А\ В= С ={/A,[и] B}.

А\ В= С ={2,4}.

АUВ = (А\ В) U (АВ) U(В\ А)

Событие Ā называется противоположным к событию А, если:

Ā =  - А, то есть Ā\ А = .

Два события называются несовместимыми, если их произведение есть невозможное событие. В противном случае события совместные.

Запись А  В (включено) означает, что из наступления события А необходимо следует наступление события В, и, если ВА, то А=В – они эквивалентные события.

Случайные события Н1, Н2,…,Нn образуют полную группу событий, если их объединение Н1 U Н2 U,…, U Нn =  - достоверное событие, и они попарно несовместны Нi · Нj =  (рис. 3.9).

ij



Рис.3.9. Полная группа событий

Множество всех событий, которое можно получить для данного ПЭС обозначается œ. Если Аœ и В œ АUВ = œ, А·В = œ, А\В = œ. то œ-алгебра событий.

Если А1œ, А2 œ, … Аn œ, то алгебра событий называется -алгеброй, при выполнении условий: 1) U An  œ 2) ∩ An  œ.

n=1∞ n=1∞

Выделение множества всех событий для данного пространства элементарных событий (выделение -алгебры) является вторым этапом в построении вероятностной модели эксперимента.

Пример: Опыт в двукратном проведении эксперимента с двумя исходами 1-“успех”, 0 -“неудача”.

1 2 3 4 4

 = {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)} œ-содержит 2 = 16 событий из ПЭС

œ = {,,(1), (2), (3), (4), (1,2), (2,3), (3,4), (1,3), (1,4), (2,4), (1,2,3), (1,2,4), (23,4), (1,2,3,4)}.

Таким образом определили -алгебру: невозможное, достоверное события и возможные исходы.

Нахождение вероятности любого события из œ является последним (третьим) этапом в построении вероятностной модели эксперимента

(, œ, Р) - вероятностная модель эксперимента.

Пример: Опыт с двумя исходами. Проводим один раз.

 = {1,0} «успех», «неудача»

œ = {,,(1),(2)} P(1) = P

    P(2) = Q P + Q = 1

Р = 0 1 Р Q

Пример: Опыт с двумя исходами проводим два раза.

 = {(0,0),(0,1),(1,0)(1,1)}

   

Р = q² qp pq p² p² + 2pq + q² = (p + q)² = 1.