6.3.2.2 Модифицированный метод Эйлера

Точность метода Эйлера можно существенно повысить, улучшив аппрок­симацию u(x) на рассчитываемом шаге. Для этого при разложении u(x) в ряд Тейлора учтем дополнительно слагаемое, содержащее h² и d²u(x_i)/dx² в (3). Определим вторую производную, аппроксимировав ее конечной разностью:

(6.52)

где x = h, u'(x_i + h) = du(x_i + h)/dx и u'(x_i) = du(x_i)/dx.

Подставляя полученное выражение в (6.49) и отбрасывая члены ряда, начиная со слагаемого, содержащего h³, запишем

Заменяя в последнем выражении производные с помощью (1) так же, как это было сделано в ранее, и, используя сокращенные обозначения, полу­чим расчетную формулу модифицированного метода Эйлера

(6.53)

Соотношение (6.53) дает решение для u_i+1 в неявном виде, поскольку u_i+1 присутствует одновременно в левой и правой его частях. Следует отметить, что использование неявных методов оправдано тем, что они, как правило, более устойчивы, чем явные.

Формула (6.53) может рассматриваться и как явное решение, если в ее правую часть подставить значение u_i+₁*, рассчитав его предварительно мето­дом Эйлера по формуле (6.51). При этом значение u_i+₁* является прогнозом, а уточнение результата по формуле (6.53) - его коррекцией. Непосредственная подстановка формулы Эйлера (6.51) в правую часть (6.53) дает расчетное соотно­шение метода Эйлера-Коши (или метода Хьюна).

Графически модифицированный метод Эйлера представлен на рис. 6.3. Из рисунке видно, что поправка, учитывающая изменение наклона кривой u(x) заметно уменьшает ошибку на шаге h.

Дальнейшее снижение погрешности решения можно получить за счет ис­пользования лучшей аппроксимации u(x), учитывающей слагаемые высоких порядков. Эта идея положена в основу методов Рунге-Кутта.