6.2.3 Численное дифференцирование на основе интерполяционной формулы Лагранжа

Следуя (6.5), будем дифференцировать многочлен Лагранжа (6.15) по хкак функцию отt:

Учитывая, что согласно (6.9) а также, получим окончательно:

(6.16)

Пользуясь формулой (6.16), можно вычислять приближенные значения производной функции f(x),если она задана на отрезке [a;b] значениями в равноотстоящих узлах . Аналогично могут быть найдены производные функцииf(x) высших порядков.

Пример 2.

Вычислить приближенное значение производной функции, заданной

таблицей 6.2 в точке х=4.

Таблица 6.2

Используя формулу (6.16), получим (n=2,h=1):

_{Учитывая, что узел х=4 соответствует значению t=1, т.е. , получаем,}

Если известно аналитическое выражение функции f(x), то формулу для оценки погрешности численного дифференцирования можно при этом же условии получить на основе формулы погрешности интерполирования:

(6.17),

где ‑ значение из отрезка [a;b], отличное от узлов их.

Учитывая (6.7) и допуская, что f(x) дифференцируемап+1 раз, запишем:

(16.18)

Формула (6.18) значительно упрощается, если оценка находится для значения производной в узлеx_iтаблицы. В этом случае, учитывая (6.14), получаем:

(6.19)

где ‑ промежуточное значение между. Обозначив

,

получим верхнюю оценку абсолютной ошибки численного дифференцирования в узлах:

(6.20)