6.4.4.1. Формирование сетки

Метод конечных элементов основывается на том, что любое непрерыв­ное распределение физической переменной u(x,y,z,t) в расчетной области, на­пример деформацию или температурное поле, можно аппроксимировать на­бором кусочно-непрерывных функций, определенных на конечном числе по­добластей (конечных элементов). Данные элементы имеют общие узловые точки и в совокупности аппроксимируют форму области.

В зависимости от геометрии и размерности задачи используют различ­ные виды конечных элементов (см. рис. 6.7). Чаще всего применяются про­стейшие элементы - симплексы.

а б в

Рис. 6.7 ‑ Некоторые виды конечных элементов: a - одномерные; б -двухмерные; в - трехмерные

Количество узлов в симплексе на единицу превышает размерность за­дачи. Для двухмерной задачи симплекс-элементом будет являться прямоли­нейный трехузловой треугольник, а для трехмерных - прямолинейный четы-рехузловой тетраэдр. Широкое применение симплексов обусловлено тем, что они позволяют заполнять расчетную область произвольной формы полно­стью без разрывов, а также на них удобно использовать в качестве аппрокси­мирующих функций линейные полиномы.

Обычно для разбиения расчетной области на элементы используется специальный алгоритм покрытия, обеспечивающий автоматическую гене­рацию сетки.

Одна из таких процедур работает следующим образом (см. рис. 6.8, а). Вначале производится нанесение с некоторым шагом узлов на границу об­ласти. После этого внутри области строится вспомогательная кривая эквиди­стантная границе. На кривую также наносятся узлы. Поочередное соединение узлов на первом и втором контурах дает симплексы. Далее все операции по­вторяются до заполнения симплексами всей области.

Известны и другие алгоритмы формирования конечных элементов, на­пример, «картографический», использующий наложение на расчетную об­ласть сетки, которая затем адаптируется к границам и неоднородностям гео­метрии, или методы, основанные на заполнении объекта набором фигур (тел) с использованием свойств симметрии или отражения.

Пример автоматически сгенерированной трехмерной сетки для кругло­го диска показан на рис. 6.8, б.