logo search
ОИТ_Учебник

7.1.1.1 Основные определения

Решение многих теоретических и практических задач сводится к отысканию экстремума (наибольшего или наименьшего значения) скалярной функции f(х) n-мерного векторного аргументах. В дальнейшем подxбудем понимать вектор-столбец (точку вn-мерном пространстве):

(7.1)

Вектор-строка получается путем применения операции транспонирования:

. (7.2)

Оптимизируемую функцию f(x)называют функцией или критерием оптимальности.

В дальнейшем без ограничения общности будем говорить о поиске минимального значения функции f(x)записывать эту задачу следующим образом: .Векторх*,определяющий минимум целевой функции, называют оптимальным.

Отметим, что задачу максимизации f(x)можно заменить эквивалентной ей задачей минимизации или наоборот. Рассмотрим это на примере функции одной переменной (рис. 7.1). Еслих* ‑ точка минимума функцииy=f(x), то для функцииy=‑f(x) она является точкой максимума, так как графики функцийf(x) и ‑ f(x), симметричны относительно оси абсцисс. Итак, минимум функцииf(x)и максимум функции ‑f(x)достигаются при одном и том же значении переменной. Минимальное же значение функцииf(x), равно максимальному значению функции - f(x), взятому с противоположным знаком, т.е. min f(x)=‑max(f(x)).

Рассуждая аналогично, этот вывод нетрудно распространить на случай функции многих переменных. Если требуется заменить задачу минимизации функции f(x1, …, xn)задачей максимизации, то достаточно вместо отыскания минимума этой функции найти максимум функцииf(x1, …, xn).Экстремальные значения этих функций достигаются при одних и тех же значениях переменных. Минимальное значение функцииf(x1, …, xn)равно максимальному значению функции - f(x1, …, xn), взятому с обратным знаком, т.е. minf(x1, …, xn)=max f(x1, …, xn). Отмеченный факт позволяет в дальнейшем говорить только о задаче минимизации.

Рис. 7.1 – Экстремум функции одной переменной

В реальных условиях на переменные xj,i=1, …. n, и некоторые функцииgi (х), hi(х),характеризующие качественные свойства объекта, системы, процесса, могут быть наложены ограничения (условия) вида:

gi (х) = 0, i=1, …. n,

hi (х) <= 0, i=1, …. n, (7.3)

a <= x <= b,

где

; (7.4)

Такую задачу называют задачей условной оптимизации.При отсутствии ограничений имеет местозадача безусловной оптимизации.

Каждая точка хв n-мерном пространстве переменныхх1, …, хn,в которой выполняются ограничения, называетсядопустимой точкой задачи.Множество всех допустимых точек называютдопустимой областью G. Решением задачи (оптимальной точкой)называют допустимую точкух*,в которой целевая функцияf(х) достигает своего минимального значения.

Точка х*определяетглобальный минимумфункции одной переменнойf(x),заданной на числовой прямойХ ,еслиx * X иf(x*)<f(x)для всех x* X (рис. 7.2,а). Точках* называетсяточкой строгого глобального минимума,если это неравенство выполняется как строгое. Если же в выраженииf(х*)<=f(x)равенство возможно прих, не равных  х*,то реализуетсянестрогий минимум,а под решением в этом случае понимают множествох* =[x* X: f(x)=f(x*)] (рис. 7.2,б).

Рис. 7.2 ‑ Глобальный минимум. а ‑ строгий, б ‑ нестрогий

Точка х* Хопределяетлокальный минимумфункцииf(x)на множествеХ ,если при некотором достаточно малом> 0 для всехх, не равных  х*,x X,удовлетворяющих условию ¦х ‑х*¦<=, выполняется неравенствоf(х*)<f(х).Если неравенство строгое, тох*является точкой строгого локального минимума. Все определения для максимума функции получаются заменой знаков предыдущих неравенств на обратные. На рис. 7.3 показаны экстремумы функции одной переменнойf(х)на отрезке [a, b] .Здесьх1, х3, х6 -точки локального максимума, ах2, х4 -локального минимума. В точкех6реализуется глобальный максимум, а в точке х2- глобальный минимум.

Рис. 7.3 ‑ Экстремумы функции