93. Уравнение Эйлера – Лагранжа для исследования функционала на экстремум.

Пусть задан функционал

с подынтегральной функцией  , обладающей непрерывными первыми частнымипроизводными и называемой функцией Лагранжа или лагранжианом, где через f' обозначена перваяпроизводная f по t. Если этот функционал достигает экстремума на некоторой функции  , то для неё должновыполняться обыкновенное дифференциальное уравнение

которое называется уравнением Эйлера — Лагранжа.

Существует также множество многомерных вариантов уравнений Эйлера — Лагранжа.

• Если q(t) — путь в n-мерном пространстве, то он доставляет экстремум функционалу

только если удовлетворяет условию

В физических приложениях когда   является лагранжианом (имеется в виду лагранжиан некоторойфизической системы; т.е. если J - действие для этой системы), эти уравнения — суть (классические) уравнения движения такой системы. Это утверждение может быть прямо обобщено и на случайбесконечномерного q.

• Другое многомерное обобщение получается при рассмотрении функции n переменных. Если   — какая-либо, в данном случае n-мерная, поверхность, то

где   - независимые координаты,  ,  ,

доставляет экстремум если только f удовлетворяет уравнению в частных производных

Если n = 2 и L — функционал энергии, то эта задача называется «минимизацией поверхности мыльнойплёнки».

• Очевидная комбинация двух описанных выше случаев используется для получения уравнений движенияраспределенных систем, таких как физические поля, колеблющиеся струны или мембраны итп.

В частности, вместо статического уравнения равновесия мыльной пленки, приведенного в качестве примерав предыдущем пункте, имеем в этом случае динамическое уравнение движения такой пленки (если, конечно, нам удалось изначально записать для нее действие, т.е. кинетическую и потенциальную энергию).

Лагранжиан может также зависеть и от производных f порядка выше, чем первый.

Пусть функционал, экстремум которого нужно найти, задан в виде:

Если наложить граничные условия на f и на её производные до порядка n − 1 включительно, а такжепредположить, что F имеет непрерывные первые производные, то можно, применяя интегрирование почастям несколько раз, вывести аналог уравнения Эйлера-Лагранжа и для этого случая:

Это уравнение часто называют уравнением Эйлера-Пуассона.