Учебник Математики и информатики

Основные термины математической логики

Запись A - «читается “не A”», отрицание А. Отрицание "не" - отрицанием данного высказывания «А» называется новое высказывание, которое истинно, когда данное высказывание ложно и ложно, когда данное высказывание истинно.
Запись А \/ B «читается А или В». \/ – знак дизъюнкции (логического сложения). Дизъюнкция "или" - дизъюнкцией двух высказываний «X» и «Y» называется такое новое высказывание «X Y», которое истинно тогда, когда истинно хотя бы одно из высказываний «X» или «Y», или оба вместе.
Запись А /\ B «читается А и В». /\ - знак конъюнкции (логического умножения). Конъюнкция "и" - конъюнкцией двух высказываний «А» и «В» называется такое высказывание «А В», которое истинно тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания «А» и «В».
Логическое отрицание инверсия F = X (читается Эф равно не Икс).
Запись Х  X : А(Х) – «читается для всякого элемента x из множества Х справедливо высказывание А».
Запись Х  Х : А – «читается существует элемент Х из множества Х, для которого справедливо высказывание А».
Запись ! хХ: А – читается «существует, причём единственный элемент х их множества Х, для которого справедливо высказывание А».

8. Запись А  В - «из высказывания А следует высказывание В».

9. Запись А  В - «читается высказывание А эквивалентно высказыванию В», то есть из А следует В, а из В следует А.

10. Запись А = В высказывание А равносильно высказыванию В.

Булевы функции задаются тремя способами:

Аналитический Q = (x1,x2,…xn).
Табличный. В левой части таблицы перечисляются всевозможные комбинации истинности высказываний (их 2 в степени n), а в правой части значения истинности составного высказывания.
Логическая схема

n=1 – одно высказывание.
F1(x) = 0 – константа 0.
F2(x) = 1 – константа 1.
F3(x) = x – тождественная функция.
F4(x) = не x – функция отрицания.

	F	F2	F3	F4
х	0	1	х	х
0	0	1	0	1
1	0	1	1	0

Итак, Булевы функции – это значения выходной функции, зависящая от аргументов (входных параметров). Задать Булеву функцию, значит указать значения функции 0 или 1 при всех возможных комбинациях значений элементов. Каждую конкретную комбинацию называю набором или точкой.

Применяются функции математической логики при проверке истинности события, при совмещении двух и более событий произошедших одновременно с целью определения состояния, в котором в результате этих событий окажется объект.

Необходимо отличать тавтологически истинные элементы от функций, которые истинны вследствие сделанных предположений или физических законов. Первые не несут никакой полезной информации, в то время как вторые накладывают определённые связи на входящие в них элементы.

Пример реализации аппарата математической логики показан для распознавания ситуации: этапа окончания учений и (или) проведения дополнительной фазы.

Описание задачи распознавания будет включать 3-и признака и 3-и класса.

Признак	А₁ Продолжение стрельб	А₂ Заключительный этап	А₃ Дополнительная фаза учений
х₁ – применение дополнительных сил истребительной авиации	1	0	1
х₂ – взлет бомбардировщика с авиабазы	0	0	1
х₃ – сигнал на окончание учения	0	1	0

_ _ _

F1 = X1 • X2 • X3 = A1 * A2 * A3 1 0 1 : 1 0 0

_ _ _ _

F2 = X1 • X2 • X3 = A1 * A2 * A3 0 0 1 : 0 1 0

_ _ _ _

F3 = X1 • X2 • X3 = A1 * A2 * A3 0 1 0 : 0 0 1

Считаем, что на данном этапе присутствуют признаки Х₂- то есть бомбардировщик взлетел с авиабазы.

1 0 1

λ = 0 1 0  0 0 1 = 0 0 1

0 1 0

1 0 0

G = 0 0 1  0 1 0 = 0 0 1 = 3 А3 проведение

0 0 1 дополнительной фазы

учений

Делаем вывод, что проводится дополнительная фаза учений.

Содержание