6.2.4 Численное дифференцирование на основе интерполяционной формулы Ньютона

Запишем для функции f(x), заданной своими значениями в равноотстоящих узлахпервый интерполяционный многочлен Ньютона:

Перепишем этот полином, производя перемножение скобок:

Дифференцируя поt, получим аналогично формуле (6.16):

(6.21)

Подобным путем можно получить и производные функции f(x)более высоких порядков. Однако каждый раз, вычисляя значение производной функцииf(x) в фиксированной точкех, в качествех₀следует брать ближайшее слева узловое значение аргумента.

Формула (6.21) существенно упрощается, если исходным значением хоказывается один из узлов таблицы. Так как в этом случае каждый узел можно считать начальным, то принимаях=х_0, t=0, получаем:

(6.22)

Эта формула позволяет точно получать значения производных функций, заданных таблично.

Выведем формулу погрешности дифференцирования. Используя формулу (6.17) применительно к первому интерполяционному многочлену Ньютона, запишем:

где ‑ промежуточное значение междуи заданной точкойх. Предполагая, чтоf(x) дифференцируемап+1 раз, получим для оценки погрешности дифференцирования(по аналогии с формулой (6.18)):

(6.23).

Для случая оценки погрешности в узле таблицы получим:

.

На практике оценивать непросто, поэтому при малыхh приближенно полагают:

Что позволяет использовать приближенную формулу

(6.24).