5.4. Динамика роботов.

При описании динамических свойств робота обычно рассматри­вают отдельно:

• манипулятор, рассматриваемый в качестве механической сис­темы, представляющей собой совокупность звеньев с определенными массоинерционными характеристиками;

• приводы робота.

Для получения уравнений динамики используются различные под­ходы. Рассмотрим динамическую модель манипулятора, полученную на основе уравнений Лагранжа II-го рода,

(5,1)

где k = 1, 2, ... , N; L = К-П – функция Лагранжа; К – кинетическая энергия системы; П – потенциальная энергия системы; F_k – обобщенная сила, отнесенная к k-тому звену; q_k – обобщенная координата k-того звена.

Опуская сложные выкладки, запишем уравнение динамики работы манипулятора в виде:

(5.2)

где ;

(5.3)

где F_i – матрица преобразования i-го звена, описывающая его положение в системе координат О₀, x₀y₀z₀; t_r – след матрицы, равный сумме ее диа­гональных элементов; H_i – матрица инерции i-го звена; N – число под­вижных звеньев; m_i - масса i-го звена; G^T – вектор ускорения свободного падения, т.е.

G^T = [0, 0, g, 0];

R_iц – радиус-вектор центра масс i-го звена в соответствующей ему системе координат.

Приведенное уравнение показывает сложность управления мани­пулятором. Однако, системы управления роботами разрабатываются не с учетом указанной модели манипулятора, а в первую очередь на основе уравнений динамики приводов, которые формируют управляющие воз­действия на вход манипулятора с учетом данной модели, получаемой специалистами соответствующего профиля.

Вид уравнений динамического привода, связывающих управляю­щие воздействия с развиваемыми моментами (усилиями) определяется с учетом выбранного варианта учета нелинейностей привода. В качестве примера рассмотрим линеаризованную модель привода, механическая часть которого считается абсолютно жесткой.

Динамика линеаризованного привода описывается следующей сис­темой уравнений:

• уравнение усилителя привода

k_yk×A_yk(p)w_ДХk(t) = v_k(t), (5.4)

где ;k_yk – коэффициент пропорциональности; A_yk(p) – оператор­ный многочлен, характеризующий инерционность усилителя; w_ДХk(t) – угловая (или линейная) скорость, зависящая от управляющего воздейст­вия v_k(t);

• уравнение двигателя привода

k_Дk­×В_Дk(p)М_Дk(t) = w_ДХk(t) – w_Дk(t), (5.5)

где ;k_Дk – коэффициент пропорциональности; В_Дk(p) – оператор­ный многочлен, характеризующий инерционность двигателя; М_Дk(t) – развиваемый двигателем момент (усилие); ;– угло­вые (или линейные) скорости перемещений двигателя и объекта управления по координатеq_k;

• уравнение моментов (усилий) на валу двигателя

J_Дk×p×w_Дk(t) = M_Дk(t) + M_НДk(t), (5.6)

где J_Дk – момент инерции (или масса) перемещающихся частей двига­теля; M_Нk(t) – создаваемый нагрузкой суммарный момент (усилие); M_НДk(t) - приведенный к валу двигателя момент (усилие) нагрузки М_Нk(t);

• уравнение приведенной скорости вала двигателя привода

w_Дk(t) = w_k(t) i_pk, (5.7)

где i_pk – передаточное число редуктора (i_pk > 1);

• уравнение приведенного момента (усилия) нагрузки

M_Нk(t) = M_НДk(t) × i_pk × K_ПДk, (5.8)

где

где h_k – коэффициент полезного действия редуктора.

Приведенные уравнения справедливы для приводов, не только с угловым, но и с линейным перемещением (при замене моментов сил на усилия, а моментов инерции на массы).

Рис. 5.3. Структурная схема линеаризованного привода

Структурная схема линеаризованного привода, соответствующая данной системе уравнений приведена на рис. 5.3.

Дифференциальные уравнения привода в операторной форме, свя­зывающие управляющее воздействие v_k(t) со скоростью вала нагрузки w_k(t) и с приведенным к валу нагрузки момента М_Нk(t), развиваемым двигателем имеет вид:

w_k(p) = G(p)V_k(p) – E(p) M_Нk(p), (5.9)

где

Более подробно, для одного частного примера линеаризованный привод рассмотрен на лабораторной работе.