Логические операции

Простейшим и наиболее широко применяемым примером такой алгебраической системы является множество B, состоящее всего из двух элементов:

B = { Ложь, Истина }

Как правило, в математических выражениях Ложь отождествляется с логическим нулём, а Истина — с логической единицей, а операции отрицания (НЕ), конъюнкции (И) и дизъюнкции (ИЛИ) определяются в привычном нам понимании. Легко показать, что на данном множестве B можно задать четыре унарные и шестнадцать бинарных отношений и все они могут быть получены через суперпозицию трёх выбранных операций.

Опираясь на этот математический инструментарий, логика высказываний изучает высказывания и предикаты. Также вводятся дополнительные операции, такие как эквивалентность   («тогда и только тогда, когда»), импликация   («следовательно»), сложение по модулю два   («исключающее или»), штрих Шеффера  , стрелка Пирса  и другие.

Логика высказываний послужила основным математическим инструментом при создании компьютеров. Она легко преобразуется в битовую логику: истинность высказывания обозначается одним битом (0 — ЛОЖЬ, 1 — ИСТИНА); тогда операция   приобретает смысл вычитания из единицы;   — немодульного сложения; & — умножения;   — равенства;   — в буквальном смысле сложения по модулю 2 (исключающее Или — XOR);   — непревосходства суммы над 1 (то есть A   B = (A + B) <= 1).

Впоследствии булева алгебра была обобщена от логики высказываний путём введения характерных для логики высказываний аксиом. Это позволило рассматривать, например, логику кубитов, тройственную логику (когда есть три варианта истинности высказывания: «истина», «ложь» и «не определено») и др.