40. Окантована матриця Гессе та її побудова.

У випадку оптимізації з додатковими умовами виникає поняття обрамленої матриці Гессе. Нехай знову маємо функцію: але тепер також розглянемо умови: . При оптимізації функції f з додатковими умовами обрамлена матриця Гессе має вигляд:

№ 41 Основні властивості розв’язків задач програмування

Властивості розв’язків задачі лінійного програмування формулюються у вигляді чотирьох теорем (доведення теорем та їх наслідки наведено нижче).

Властивість 1. (Теорема 2.2) Множина всіх планів задачі лінійного програмування опукла.

Властивість 2. (Теорема 2.3) Якщо задача лінійного програмування має оптимальний план, то екстремального значення цільова функція набуває в одній із вершин її багатогранника розв’яз­ків. Якщо ж цільова функція набуває екстремального значення більш як в одній вершині цього багатогранника, то вона досягає його і в будь-якій точці, що є лінійною комбінацією таких вершин.

Властивість 3. (Теорема 2.4) Якщо відомо, що система векторів A1, A2, …, Ak (k ≤ n) у розкладі A1x1 +A2x2 + … + Anxn = A0, X ≥ 0 лінійно незалежна і така, що

A1x1 + A2x2 + … + Akxk = A0,

де всі xj ≥ 0, то точка X = (x1, x2, …, xk, 0, …, 0) є кутовою точкою багатогранника розв’язків.

Властивість 4. (Теорема 2.5) Якщо X = (x1, x2, …, xn) — кутова точка багатогранника розв’язків, то вектори в розкладі A1x1 + + A2x2 + … + Anxn = A0, X ≥ 0, що відповідають додатним xj, є лінійно незалежними.

Теорема 2.2. Множина всіх планів задачі лінійного програмування опукла.

Теорема 2.3. Якщо задача лінійного програмування має оптимальний план, то екстремального значення цільова функція набуває в одній із вершин багатогранника розв’язків. Якщо цільова функція набуває екстремального значення більш як в одній вершині цього багатогранника, то вона досягає його і в будь-якій точці, що є лінійною комбінацією таких вершин.Теорема 2.4. Якщо відомо, що система векторів (k ≤ n) у розкладі , лінійно незалежна і така, що

,

де всі xj ≥ 0, то точка X = (x1, x2, …, xk, 0, …, 0) є кутовою точкою багатогранника розв’язків.

Теорема 2.5. Якщо — кутова точка багатогранника розв’язків, то вектори в розкладі , , що відповідають додатним , є лінійно незалежними.

№ 42 Геометрична інтепретація задачі нелінійного програмування на площині. Нелінійна цільова функція і лінійні обмеження.

(8.1)

за умов:

( );(8.2) . (8.3)Геометрично цільова функція (8.1) визначає деяку поверхню, а обмеження (8.2)—(8.3) — допустиму підмножину n-вимірного евклідового простору.

Знаходження оптимального розв’язку задачі нелінійного програмування зводиться до відшукання точки з допустимої підмножини, в якій досягається поверхня найвищого (найнижчого) рівня.

Якщо цільова функція неперервна, а допустима множина розв’язків замкнена, непуста і обмежена, то глобальний максимум (мінімум) задачі існує.

Найпростішими для розв’язування є задачі нелінійного програмування, що містять систему лінійних обмежень та нелінійну цільову функцію. В цьому разі область допустимих розв’язків є опуклою, непустою, замкненою, тобто обмеженою.

Розглянемо приклад геометричного способу розв’язування задачі нелінійного програмування.

Знайти мінімальне і максимальне значення функції:

за умов: .

Розв’язання. Область допустимих розв’язків утворює чотирикутник АВСD (рис. 8.1). Геомет­рично цільова функція являє собою коло з центром у точці М (2; 2), квадрат радіуса якого . Це означає, що її значення буде збільшуватися (зменшуватися) зі збільшенням (зменшенням) радіуса кола. Проведемо з точки М кола різних радіусів. Функція Z має два локальних мак­симуми: точки В (0; 6) і С (8; 0). Обчислимо значення функціонала в цих точках:

, .

Оскільки , то точка С (8; 0) є точкою глобального максимуму.

Очевидно, що найменший радіус , тоді:

Тобто точка М є точкою мінімуму, оскільки їй відповідає найменше можливе значення цільової функції.

Зазначимо, що в даному разі точка, яка відповідає оптимальному плану задачі (мінімальному значенню функціонала), знаходиться всередині багатокутника допустимих розв’язків, що в задачах лінійного програмування неможливо.