4.2. Моделирование на основе конечно-разностных методов

Рассмотрим еще один пример простого моделирования с применением эмпирической зависимости. Возможно, вы наблюдали за полетом самолета и вдруг до вас доносились раскаты грома или звук взрыва при абсолютно чистом небе. Не спешите прятаться - скорее всего эти звуки связаны с преодолением самолетом звукового барьера.

Физики давно вывели формулу, при которой это явление наблюдается. Эта формула определяет некоторое число Маха M, которое является отношением скорости тела или газовой струи к скорости звука в газе. Для самолета это число M(u, h) зависит от скорости полета самолета u и высоты полета h. Как только M достигает 1, самолет преодолевает звуковой барьер, обтекание его воздухом резко меняется, и это порождает звук выстрела или грома.

Рис. 4.3 представляет документ системыMathcad, в котором задана известная формула M(u, h) и построены графики значений числа Маха от скорости полета на четырех высотах в 1, 5, 10 и 20 км (1 км = 1000 м). Пересечение этих графиков с горизонталью 1 позволяет найти момент, когда создаются условия для преодоления звукового барьера.

Рис. 4.3. Вычисление чисел Маха

К сожалению, найти этот момент по графикам достаточно точно трудно. Кроме того, хотелось бы получить зависимость скорости самолета от его высоты для моментов, когда он преодолевает звуковой барьер. Для этого нужно решать нелинейное уравнение M(u, h) - 1 = 0 относительно переменной u для заданного значения h. Для этого можно воспользоваться тем или иным численным методом. Рисунок 4.4 показывает не только такое решение, но и построение по его результатам зависимости u(h) при M=1.

Для решения используется функция системы Mathcad - root. Если вы пилотируете самолет, то, зная высоту его полета h (в метрах), можете легко вычислить скорость u (в м/c), нужную для преодоления звукового барьера. Скорость около 1240 км/час характерна при полетах на низкой высоте. С ростом высоты полета эта скорость заметно (в несколько раз) снижается. Однако она остается настолько высокой, что преодолеть ее пока могут только реактивные самолеты.

Рис. 4.4. Построение зависимостиu(h) для случая, когда M=1