учебники и задачи по числ методам / Дьяконов_В

Оценка обусловленности вычислительной задачи – еще одно обязательное требование при выборе метода решения и построении математической модели.

Пусть вычислительная задача корректна. Теоретически устойчивость задачи означает, что ее решение может быть найдено со сколь угодно малой погрешностью, если только гарантировать достаточно малую погрешность входных данных. Однако на практике их точность ограничена (и величиной гораздо большей, чем _м=2^-^P⁺¹ – машинная точность, p – порядок, округление производится усечением).

Как влияют малые, но конечные погрешности входных данных на решение? Как сильно они искажают результат? Ответ на это дает понятие обусловленности задачи, то есть чувствительность решения вычислительной задачи к малым погрешностям входных данных.

Задачу называют хорошо обусловленной, если малым погрешностям входных данных отвечают малые погрешности решения, и плохо обусловленной, если возможны сильные изменения решения. Часто возможно ввести количественную оценку степени обусловленности – число обусловленности – его можно интерпретировать как коэффициент возможного возрастания погрешности в решении по отношению к вызвавшей их погрешности входных данных: если установлено неравенство между этими погрешностями

абсолютное число обусловленности или

относительное число обусловленности (вместо погрешности могут фигурировать их границы). Для плохо обусловленных задач _1 (неустойчивость _=).

При каких значениях _ можно считать задачу плохо обусловленной? Это зависит от требований к точности решения и от уровня обеспечиваемой точности исходных данных.

Если требуется найти решение с точностью 0.1%, а входная информация задается с точностью в 0.02%, то при _=10 уже будет плохая обусловленность.
Однако если исходные данные задаются с (x*) 0.0001%, то при _=10³ – задача хорошо обусловлена ((y*)=0.1%).

Вычислительные методы преобразуются к виду, удобному для программной реализации. Можно выделить следующие классы численных методов:

Метод эквивалентных преобразований– исходную задачу заменяют другой, имеющей то же решение: нахождение корня нелинейного уравненияf(x)=0 сводят к поиску точек глобального минимумаФ(x)=(f(x))².
Методы аппроксимации– заменяют исходную задачу другой, решение которой близко к решению исходной задачи.
Методы конечно-разностные, основанные на замене производных конечными разностями, например.
Прямые (точные) методы– решение может быть получено за конечное число элементарных операций (арифметические и извлечение корня). Многие прямые методы не годятся к применению в ЭВМ из-за чувствительности к ошибкам округления.
Итерационные методы– методы последовательных приближений к решению задачи. Задается начальное приближение решения, строится итерационная последовательность приближений к решению. Если эта последовательность сходится к решению, то говорят что итерационный процесс сходится. Множество начальных приближений, для которых метод сходится, называются областью сходимости метода.
Метод статистических испытаний (Монте–Карло)– основан на моделировании случайных величин и построении статистических оценок решений задач (для моделирования больших систем).

Численные методы группируются вокруг типичных математических задач: задач анализа, алгебры, оптимизации, решения дифференциальных и интегральных уравнений, обратных задач (синтез). Этот этап решения заканчивается выбором и обоснованием конкретных численных методов решения, разработкой алгоритма, которые могут быть программно реализованы средствами компьютерной техники.

Содержание