logo
учебники и задачи по числ методам / Дьяконов_В

1.6.3. Построение графиков поверхностей

Построение графиков поверхностей (их называют также трехмерными или 3D-графиками) – сложная задача. Связано это с тем, что такие графики даже в простейшем случае требуют создания матрицы точек (аппликат) зависимости z(x,y), то есть функции двух переменных. Создание такой матрицы – нетривиальная задача, что приводило не только к усложнению построений, но и к потере их наглядности.

Однако в новейших версиях Mathcad 2000/2001/2001i/11 эта трудность блестяще преодолена. Теперь трехмерный график построить даже проще, чем двумерный (см. пример ниже).

Пример 1.8. Построить график параболической поверхности (x2 + y2). Для этого надо выполнить представленные ниже действия.

  1. Определите функцию z(x,y) двух переменных x и y. В качестве примера рассмотрим график функции суммы квадратов(x2 + y2). Тогда определение функции будет выглядеть следующим образом:

z(x,y) := x2 + y2.

  1. Используя палитру графики, введите шаблон трехмерного графика.

  2. На единственное место ввода под шаблоном введите имя функции — z.

  3. Выведите указатель мыши за пределы графика и щелкните левой кнопкой мыши — будет построен график в виде «проволочного каркаса».

  4. Растяните (или сожмите) график и поместите его в нужное место экрана (рис. 1.10).

  5. Поместив в окно графика курсор мыши и нажав и удерживая левую клавишу мыши, попробуйте вращать график перемещением мыши. Тем самым вы можете менять углы обзора графика и даже заставить график вращаться в заданном направлении автоматически.

Рис. 1.10. График поверхности в виде «проволочного каркаса»

Обратите внимание на то, что в этом примере мы впервые задали функцию пользователя как функцию двух переменных x и y. Наша функция пользователя имеет простое имя z и список параметров (x, y), т. е. переменных x и y, от которых зависят значения z. С помощью функций пользователя мы можем пополнять набор функций, встроенных в систему.

График в виде «проволочного каркаса» не слишком эстетичен, хотя иногда и полезен, поскольку сквозь каркас видны обычно невидимые детали. Для изменения вида графиков трехмерных поверхностей используется их форматирование. Окно форматирования имеет множество возможностей, включая изменение типа графиков.

Пример 1.9.Отформатировать представленный в предыдущем примере график с тем, что бы он представлял поверхность в виде контурных линий (рис. 1.11). Такие линии образуются при пересечении поверхности рядом параллельных плоскостей, расположенных на одинаковом расстоянии друг от друга.

Рис. 1.11. Контурный график поверхности с функциональной окраской и оцифровкой контурных линий

Новые версии Mathcad дают возможность построения на одном графике ряда поверхностей. Это делается предельно просто: определите ряд функций двух переменных, описывающих поверхности, и введите через запятую имена этих функций в месте ввода шаблона трехмерного графика.

Пример 1.10.Построить две объемные параболы, пересекающиеся в пространстве, и отформатировать их для придания наглядности рисунку. Зададим уравнения парабол функциями пользователя:

z1(x,y) := x2 + y2 - 20 z2(x,y) := -(x2 + y2) + 20

Укажем их имена в шаблоне поверхности и, используя окно форматирования, выберем построение поверхностей с функциональной окраской. Заметим, что каждая поверхность может форматироваться отдельно. Полученный рисунок представлен на рис. 1.12.

Рис. 1.12. Построение двух пересекающихся в пространстве объемных парабол (вращая график мышью, можно рассмотреть его с разных сторон), а в окне форматирования графика выбрать разные схемы освещения

Окно форматирования трехмерной графики позволяет строить графики в нескольких системах координат, например, в сферической и цилиндрической системах координат. Сферическая система координат применяется в картографии, например, при построении карт на шаре - глобусе. Вид трехмерных графиков очень сильно зависит от того, в каких координатах строится график.

Для более детального знакомства с обширными возможностями визуализации геометрических понятий и результатов математических вычислений рекомендуется ознакомиться с литературой [5, 7] и примерами из справки по системе Mathcad.