3.4.4. Выбор метода решения

Пример 3.4. Выбор метода решения задачи «Бросок камня». Задача может быть решена как аналитически, так и численно. Рассмотрим оба варианта.

Аналитическое решение

Из (3.1) запишем систему ОДУ первого порядка:

, ,,. (3.2)

После интегрирования получим:

,,,. (3.3)

Определив константы интегрирования из начальных условий, окончательно запишем:

.

Из аналитического решения вытекает, что полет камня при отсутствии сопротивления воздуха происходит строго по параболической траектории, причем она на участках полета камня вверх и вниз симметрична.

Численное решение конечно-разностным методом

Численное решение может быть найдено только для конкретных значений параметров модели, например m=200 г, α₀=45°v₀=20 м/c,g=9.8 м/c², x₀=0,y₀=1 м. Существует большое количество численных методов решения систем ОДУ. Для данной задачи можно использовать простейший явный метод Эйлера, который является разновидностью конечно-разностных методов.

Пусть дифференциальное уравнение приведено к виду , а вид функцииизвестен. Заменим приближенно дифференциалы приращениями, тогдаи. Аналогично, для системы ОДУ данной задачи получим расчетные формулы:

Очевидно, что вычисления надо вести до момента времени t_k, когдаy(t_k) станет равным 0, камень упадет на землю. Подобное решение, ввиду его приближенного характера, целесообразно только в том случае, если используемая СКМ не имеет средств для достаточно точного решения систем дифференциальных уравнений или когда просто нужна демонстрация простых методов решения задачи.

В более сложных случаях выбор численного метода решения является ответственным этапом, необходимо учитывать жесткость системы ОДУ, скорость работы, сходимость и точность метода.