4.6.1.Оптимальные экономико-математические модели

Современная экономика широко использует математические методы и самые разнообразные математические модели [25, 26]. В отличие от естественных наук возможности экспериментальных исследований в общественных дисциплинах ограничены. Экономический эксперимент в масштабах страны может привести к кризису и социальным потрясениям, а в рамках отдельной фирмы – к убыткам или краху. Поэтому моделирование экономических процессов, предварительный анализ возможных последствий тех или иных управленческих решений особенно важны. Рассмотрим примеры некоторых типичных задач экономического моделирования, наиболее часто встречаемые на практике.

Большую группу в моделировании экономических процессов составляют задачи, относящиеся к методам принятия оптимальных решений, исследованию операций. В повседневной практике хозяйствования требуется выбрать производственную программу, поставщиков, распределение ресурсов, маршрут транспортировки. Требование оптимальности в планировании и управлении приводит к задачам оптимального (математического) программирования – разделу прикладной математики, занимающемуся условной оптимизацией.

Необходимо найти такое управленческое решение , которое в некоторой области допустимых решенийD обеспечивало бы наилучшее значение некоторого критерия оптимальности – экономического показателя. Такими экономическими показателями чаще всего являются «максимум прибыли», «минимум затрат», «максимум рентабельности» и т.д. Задача условной оптимизации в общем виде может быть записана так: найти максимум или минимум функции

(4.1)

при ограничениях

, где (4.2)

, . (4.3)

Условия (4.3) может и не быть, но чаще всего переменные в экономическом моделировании должны быть неотрицательными. Выбор оптимального управленческого решения в конкретной производственной ситуации требует решения задачи оптимального программирования. Если функция и ограничения (4.1) - (4.3) линейные, то проблема сводится к задаче линейного программирования. К математическим задачам линейного программирования приводят различные производственные и хозяйственные ситуации, которые требуют оптимального использования ограниченных ресурсов (задачи о планировании выпуска продукции, о смесях, транспортная задача и т.д.)

В общем случае задача линейного программирования может быть сформулирована следующим образом: найти максимум или минимум целевой функции

(4.4)

при ограничениях

, ,,,(4.5)

Для решения задач линейного программирования разработано большое количество различных методов. При анализе моделей с двумя или тремя переменными часто используются графические построения на плоскости или в пространстве. Среди универсальных методов решения наиболее распространен симплексный метод. Симплекс – это многоугольник, перемещаемый в пространстве решения таким образом, чтобы, сужаясь, он мог охватить точку искомого решения, приближаясь к ней с заданной погрешностью.

При этом методе задается некоторое начальное приближение, удовлетворяющее всем ограничениям задачи, но не обязательно оптимальное. Оптимальность результата достигается последовательным улучшением исходного варианта за определенное число шагов (итераций). Направление перехода от одной итерации к другой выбирается на основе критерия оптимальности целевой функции задачи.

Реализовывать симплекс-метод вручную громоздко и сложно. Системы компьютерной математики имеют средства решения задач оптимизации, в том числе и симплекс-методом. Рассмотрим примеры решения нескольких типичных задач линейного программирования с помощью таких средств.