4.3.4. Хаос и моделирование аттрактора Лоренца()

Броуновское движение частиц, моделирование которого мы уже провели, и колебания в системе Дафинга являются проявлениями хаоса в природе. Наблюдая за изменениями курса акций, сходами ледников и снежных лавин или за колебаниями температуры, мы нередко убеждаемся в том, что наряду с вполне предсказуемыми изменениями того или иного параметра (например, повышением температуры летом и понижением зимой) нередко наблюдаются хаотические изменения, которые трудно или невозможно заранее предвидеть.

Иногда «развал», казалось бы, устойчивой системы приводит к резким изменениям ее поведения - наш «черный вторник» или обвал рубля в 1988 году тому наглядные примеры, как и крупный террористический акт в центре одной из самых стабильных стран мира - США. Существует достаточно обоснованное мнение, что хаотическое поведение систем куда больше характерно для природы, чем стационарное, происходящее с неизменяемыми во времени параметрами. Так что хаос стал одним из важных объектов изучения современной наукой. Его моделирование осуществляется на основе численных методов.

Рис. 14.17. Решение уравнения Дафинга

Чем сложнее система и чем большим количеством дифференциальных уравнений она описывается, тем больше вероятность возникновения в системе хаотических режимов - даже если она автономна. Изучение этого вопроса показало, что уже в системах из трех дифференциальных уравнений возможно возникновение хаотических режимов. Наглядным примером этого является аттрактор Лоренца, пример моделирования которого представлен на рис. 14.18. При определенных значениях параметров r и b и начальных параметров переменных поведение аттрактора (он в этом случае называется странным аттрактором) очень напоминает хаотические колебания в системе Дафинга.

Аттрактором в теории колебаний называется притягивающая область в фазовом пространстве. Причины неустойчивости аттракторов связаны с экспоненциальной неустойчивостью системы в малых областях фазового пространства. При этом наблюдаются хаотические переходы из одной области фазового пространства в другие области, но при этом колебания могут не выходить из некоторой более обширной области фазового пространства. «Обвал» системы означает переход в некоторое состояние, резко отличающееся от других состояний, т.е. выход за пределы ограниченного фазового состояния системы. Такое состояние может оказаться устойчивым и приводит к переходу системы в статическое состояние, при котором изменения ее параметров отсутствуют.

Рис. 14.18. Моделирование аттрактора Лоренца