4.3.2. Анализ нелинейной колебательной системы Ван дер Поля

А теперь рассмотрим поведение нелинейной колебательной системы второго порядка. Характер нелинейности системы может быть самым различным. Классическим стал анализ нелинейных систем, описываемых нелинейным дифференциальным уравнением второго порядка - уравнением

Рис. 4.14. Решения дифференциального уравнения второго порядка,

описывающего поведение линейных колебательных систем

Ван дер Поля. Рисунок 4.15 показывает документ системы Mathcad, в котором такое уравнение решается при параметре =0,5. Этот параметр задает характер решения, как и начальные условия для x(t) и dx(t)/dt. При положительных  колебания в системе нарастают, но вследствие нелинейности системы их амплитуда ограничивается, а форма становится заметно отличной от синусоидальной.

Дифференциальное уравнение второго порядка можно разбить на два уравнения первого порядка. Этот случай решения уравнения Ван дер Поля представлен на рис. 4.16. Оба варианта решения совершенно равноценны. Во втором случае показано поведение системы при отрицательном параметре =-0,5. В этом случае возникшие вначале колебания затухают во времени.

Системы, колебания в которых возникают без внешних воздействий, принято называть автономными системами. Помимо систем класса Ван дер Поля к ним относится и описанный выше генератор колебаний на туннельном диоде и большинство автогенераторов синусоидальных и релаксационных колебаний.

Рис. 4.15. Решение уравнения Ван дер Поля (вариант 1)