1.9. Теорема Гаусса для электрического поля в диэлектриках
При поляризации диэлектрика в каждом небольшом его объеме происходит упорядочение в направлении дипольных моментов его молекул. В результате каждую область диэлектрика можно охарактеризовать некоторым суммарным дипольным моментом (равным векторной сумме дипольных моментов отдельных молекул). Для того, чтобы охарактеризовать состояние поляризации диэлектрика в каждой небольшой его области, вводят понятие вектора поляризации . Вектором поляризации называют дипольный момент единицы объема диэлектрика. В различных областях диэлектрика векторможет быть разным. Поляризация, при которой векторв каждой небольшой области диэлектрика один и тот же, называется однородной. Очевидно, что однородно поляризованным будет диэлектрик, помещенный в однородное внешнее электрическое поле.
,
где площадь каждой из граней 1 и 2. Тогда согласно данному определению вектор поляризации:
.
Проекция вектора поляризации на направление нормали к грани 2:
. (1.22)
Уравнение (1.22) можно записать в виде: . Полный поляризационный заряд на поверхностидиэлектрика в общем случае определяется поверхностным интегралом:
.
Полученное выражение имеет общий характер. Оно будет справедливо и в случаях, когда поляризационные заряды находятся на неплоских поверхностях и поляризация неоднородна. Итак, проекция вектора поляризации на направление нормали к поверхности равна суммарному заряду, смещенному при поляризации диэлектрика вдоль нормали через единичную площадь. Выражение (1.22) показывает, что вектор поляризации измеряется в .
, (1.23,а)
где сумма свободных зарядов, находящихся внутри поверхности , а сумма нескомпенсированных связанных или поляризационных зарядов, находящихся внутри поверхности .
С другой стороны, из опыта известно, что электрическое поле в диэлектрике уменьшается в некоторое число раз по сравнению с полем в вакууме. Это число называется диэлектрической проницаемостью среды и обозначается . Величина зависит только от свойств диэлектрика и не зависит от величины внешнего электрического поля. Такое уменьшение электрического поля в диэлектрике можно было бы учесть, «поправив» теорему Гаусса следующим образом:
. (1.23,б)
Выражения (1.23,а) и (1.23,б) – суть одно и тоже. На практике для определения электрического поля в диэлектрических средах, конечно, пользуются выражением (1.23,б), поскольку сумма поляризационных зарядов, попавших внутрь какой-либо поверхности в объеме диэлектрика – величина неизвестная, а величина для каждого диэлектрика определена экспериментально.
Для описания электрического поля в изотропном диэлектрике вводится вспомогательный вектор:
, (1.24)
называемый вектором электрического смещения. Теорему Гаусса для электрического поля в диэлектриках можно записать через вектор . Простые преобразования выражения (1.23,б) дают следующий результат:
. (1.23,в)
Поскольку в правой части выражения (1.23,в) осталась только сумма свободных зарядов (сравните с формулой 1.23,а), говорят, что вектор электрического смещения характеризует электрическое поле только свободных зарядов (или определяется только свободными зарядами). При одном и том же распределении свободных зарядов этот вектор будет одним и тем же, не зависимо от среды, в которой находятся эти заряды.
Все заряженные объекты, рассматриваемые в примерах 1.3 - 1.6, можно проанализировать теперь и в диэлектрической среде. Для этого нужно использовать теорему Гаусса в виде (1.23,б) или (1.23,в). Естественно, что в полученных результатах для напряженностей и потенциалов всякий раз будет появляться величина диэлектрической проницаемости в знаменателе. Например, поле заряженной плоскости (см. пример 1.3) определяется выражением:
, (1.20,а)
а поле между двумя противоположно заряженными плоскостями (см. пример 1.4):
. (1.20,б)
Если полая равномерно заряженная сфера (или металлический шар) (см. пример 1.5) находятся в диэлектрике, то при напряженность электрического поля сферы
,
а потенциал
.
Потенциал самой сферы
.
В заключение отметим, что между тремя векторами ,исуществует связь, определяемая уравнением:
. (1.25)
Комбинируя (1.24) и (1.25), можно получить:
или: (1.26)
Величина называется поляризуемостью диэлектрика.
В неизотропных диэлектриках, диэлектрические свойства которых зависят от направления, векторы ,ине параллельны и уравнения 1,24 и 1.25 не справедливы. Поэтому в общем случае именно уравнение (1.25) является определением вектора электрического смещения.
- Оглавление
- Введение
- 1. Электростатика
- 1.1. Закон Кулона
- 1.2. Электрическое поле и его характеристики
- 1.3. Связь напряженности электрического поля и потенциала
- 1.4. Электрическое поле точечного заряда. Принцип суперпозиции
- 1.5. Графическое изображение электрических полей. Силовые линии и эквипотенциальные поверхности
- 1.6. Теорема Гаусса для электрического поля в вакууме
- 1.7. Проводники в электрическом поле
- 1.8. Электрическое поле в диэлектриках
- 1.9. Теорема Гаусса для электрического поля в диэлектриках
- 1.10. Конденсаторы
- 1.11. Энергия электрического поля
- 1.12. Потенциальность электрического поля. Теорема о циркуляции
- 2. Постоянный электрический ток
- 2.1. Закон Ома для однородного участка цепи
- 2.2. Работа и мощность электрического тока. Закон Джоуля - Ленца
- 2.3. Последовательное и параллельное соединение проводников
- 2.4. Источники тока. Закон Ома для полной цепи
- 2.5. Химические источники тока. Элемент Вольта
- 2.6. Закон Ома для неоднородного участка цепи
- 2.7. Правила Кирхгофа
- Для лучшего уяснения всех нюансов, возникающих при применении правил Кирхгофа, рассмотрим пример достаточно разветвленной цепи.
- 2.8. Закон Ома в дифференциальной форме. Электронная теория проводимости
- 3. Магнетизм
- 3.1. Магнитное поле. Сила Лоренца
- 3.2. Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях
- 3.3. Сила Ампера
- 3.4. Рамка с током в магнитном поле
- 3.5. Эффект Холла
- 3.6. Вычисление магнитной индукции. Закон Био-Савара-Лапласа
- 3.7. Циркуляция и поток вектора магнитной индукции
- 3.8. Работа по перемещению контура с током в магнитном поле. Работа электродвигателя
- 3.9. Индуктивность
- 3.10. Закон электромагнитной индукции
- 3.11. Правило Ленца
- 3.12. Явления при замыкании и размыкании тока. Энергия магнитного поля
- 3.13. Генераторы и электродвигатели
- 3.14. Трансформаторы
- 3.15. Природа электромагнитной индукции
- 3.16. Магнитное поле в веществе
- 3.17. Теорема о циркуляции магнитного поля в веществе. Напряженность магнитного поля
- 3.18. Молекулярная теория магнетизма
- 3.19. Ток смещения. Уравнения Максвелла
- 3.20. Природа магнетизма
- 4. Электромагнитные колебания и волны
- 4.1. Колебательный контур
- 4.2. Колебательный контур с затуханием
- 4.3. Вынужденные колебания в lcr-контуре
- 4.4. Переменный ток в электрических цепях
- 4.4.1. Активное, индуктивное и емкостное сопротивления
- 4.4.2. Закон Ома для переменного тока. Активное и реактивное сопротивления
- 4.4.3. Метод векторных диаграмм
- 4.4.4. Эффективные напряжение и ток
- 4.4.5. Мощность в цепи переменного тока
- 4.5. Электромагнитные волны
- 4.5.1. Шкала электромагнитных волн
- 4.5.2. Получение электромагнитных волн
- 4.5.3. Энергия электромагнитных волн. Вектор Умова-Пойнтинга
- Список литературы