4.2. Колебательный контур с затуханием
Дифференциальное уравнение затухающих колебаний некоторой физической величины имеет вид
(4.10)
Оно отличается от дифференциального уравнения гармонических колебаний (4.2) слагаемым (), учитывающим силы сопротивления, действующие на маятник. Коэффициент называется коэффициентом затухания. Если величина смещение, её производная скорость, тогда слагаемое отражает тот факт, что сила сопротивления пропорциональна скорости.
В случае, когда затухание не слишком велико (выполняется условие ), решение дифференциального уравнения (4.10) имеет вид:
, (4.11)
где амплитуда колебаний, уменьшающаяся со временем по экспоненциальному закону; начальная амплитуда колебаний; циклическая частота колебаний; собственная циклическая частота колебаний (частота, с которой колебался бы маятник, если бы сил сопротивления не было). Присутствие сил сопротивления уменьшает циклическую частоту колебаний и, соответственно, увеличивает период колебаний:
.
Вернемся к электромагнитным колебаниям в LCR-контуре. Поскольку внешние ЭДС в цепи не действуют, сумма падений напряжений на отдельных элементах контура равна нулю
.
Учитывая, что , получим:
. (4.12)
Уравнение (4.12) по форме совпадает с дифференциальным уравнением (4.10). Отсюда можно сделать два основных вывода.
. Процесс в LCR-контуре представляет собой затухающие колебания, зависимость заряда конденсатора от времени подобна (4.11):
. (4.13)
График функции (4.13) изображен на рис. 4.4. сплошной линией. Отдельно пунктирной линией показана зависимость амплитуды колебаний заряда от времени .
Сформулируем несколько определений параметров затухающих колебаний.
Время , в течение которого амплитуда колебаний уменьшается вe2,72 раз, называетсявременем затуханияиливременем релаксации.
Отметим, что уменьшение амплитуды почти в 3 раза существенно, однако не означает полного прекращения колебаний.
Время затухания есть величина, обратная коэффициенту затухания:
. (4.14)
Докажем утверждение (4.14). Амплитуда колебаний в некоторый момент времени :. Через время, т.е. в момент времениамплитуда колебаний. По определению величины
.
Из формулы (4.14) следует, что . Таким образом, коэффициент затухания – это величина, обратная времени затухания, т.е. времени, за которое амплитуда уменьшается в е раз.
Декрементом затухания называется величина, равная отношению амплитуд следующих друг за другом колебаний:
(4.15)
где амплитуда-го колебания,амплитуда-го колебания.
Декремент затухания связан с коэффициентом затуханияи периодом колебаний:
(4.16)
Докажем формулу (4.16). Пусть -е колебание происходит в некоторый момент времени, тогда. Поскольку ()-е и-е колебания разделены временным отрезком, равным периоду колебаний, то. Тогда.
Логарифмическим декрементом затуханияназывается величина. Из формулы (4.16) следует:
. (4.17)
Пример 4.2. Определить число колебаний маятника за время затухания, если известен логарифмический декремент затухания.
Решение.Число колебаний можно найти, разделив полное время колебаний (в данном случае время затухания) на время одного колебания, т.е. на период:. Далее, используя формулу (4.14), получаем ответ:. Следствие:, т.е. логарифмический декремент затухания – есть величина, обратная числу колебаний за время затухания.
- Оглавление
- Введение
- 1. Электростатика
- 1.1. Закон Кулона
- 1.2. Электрическое поле и его характеристики
- 1.3. Связь напряженности электрического поля и потенциала
- 1.4. Электрическое поле точечного заряда. Принцип суперпозиции
- 1.5. Графическое изображение электрических полей. Силовые линии и эквипотенциальные поверхности
- 1.6. Теорема Гаусса для электрического поля в вакууме
- 1.7. Проводники в электрическом поле
- 1.8. Электрическое поле в диэлектриках
- 1.9. Теорема Гаусса для электрического поля в диэлектриках
- 1.10. Конденсаторы
- 1.11. Энергия электрического поля
- 1.12. Потенциальность электрического поля. Теорема о циркуляции
- 2. Постоянный электрический ток
- 2.1. Закон Ома для однородного участка цепи
- 2.2. Работа и мощность электрического тока. Закон Джоуля - Ленца
- 2.3. Последовательное и параллельное соединение проводников
- 2.4. Источники тока. Закон Ома для полной цепи
- 2.5. Химические источники тока. Элемент Вольта
- 2.6. Закон Ома для неоднородного участка цепи
- 2.7. Правила Кирхгофа
- Для лучшего уяснения всех нюансов, возникающих при применении правил Кирхгофа, рассмотрим пример достаточно разветвленной цепи.
- 2.8. Закон Ома в дифференциальной форме. Электронная теория проводимости
- 3. Магнетизм
- 3.1. Магнитное поле. Сила Лоренца
- 3.2. Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях
- 3.3. Сила Ампера
- 3.4. Рамка с током в магнитном поле
- 3.5. Эффект Холла
- 3.6. Вычисление магнитной индукции. Закон Био-Савара-Лапласа
- 3.7. Циркуляция и поток вектора магнитной индукции
- 3.8. Работа по перемещению контура с током в магнитном поле. Работа электродвигателя
- 3.9. Индуктивность
- 3.10. Закон электромагнитной индукции
- 3.11. Правило Ленца
- 3.12. Явления при замыкании и размыкании тока. Энергия магнитного поля
- 3.13. Генераторы и электродвигатели
- 3.14. Трансформаторы
- 3.15. Природа электромагнитной индукции
- 3.16. Магнитное поле в веществе
- 3.17. Теорема о циркуляции магнитного поля в веществе. Напряженность магнитного поля
- 3.18. Молекулярная теория магнетизма
- 3.19. Ток смещения. Уравнения Максвелла
- 3.20. Природа магнетизма
- 4. Электромагнитные колебания и волны
- 4.1. Колебательный контур
- 4.2. Колебательный контур с затуханием
- 4.3. Вынужденные колебания в lcr-контуре
- 4.4. Переменный ток в электрических цепях
- 4.4.1. Активное, индуктивное и емкостное сопротивления
- 4.4.2. Закон Ома для переменного тока. Активное и реактивное сопротивления
- 4.4.3. Метод векторных диаграмм
- 4.4.4. Эффективные напряжение и ток
- 4.4.5. Мощность в цепи переменного тока
- 4.5. Электромагнитные волны
- 4.5.1. Шкала электромагнитных волн
- 4.5.2. Получение электромагнитных волн
- 4.5.3. Энергия электромагнитных волн. Вектор Умова-Пойнтинга
- Список литературы