1.6. Теорема Гаусса для электрического поля в вакууме

Основной задачей электростатики является задача о нахождении напряженности и потенциала электрического поля в каждой точке пространства. В п. 1.4 мы решили задачу о поле точечного заряда, а также рассмотрели поле системы точечных зарядов. В этом параграфе речь пойдет о теореме, позволяющей рассчитывать электрическое поле более сложных заряженных объектов. Например, заряженной длинной нити (прямой), заряженной плоскости, заряженной сферы и других. Рассчитав напряженность электрического поля в каждой точке пространства, используя уравнения (1.12) и (1.13), можно вычислить потенциал в каждой точке или разность потенциалов между двумя любыми точками, т.е. решить основную задачу электростатики.

Для математического описания введем понятие потока вектора напряженности или потока электрического поля. Потоком (Ф) вектора электрического поля через плоскую поверхность площадиназывается величина:

, (1.16)

. (1.15,а)

В случае, когда поверхность не плоская, для вычисления потока ее необходимо разделить на малые части, которые можно приблизительно считать плоскими, а затем записать выражение (1.16) или (1.16,а) для каждого куска поверхности и сложить их. В пределе, когда поверхностьS_i очень мала (), такую сумму называют поверхностным интегралом и обозначают. Таким образом, поток вектора напряженности электрического поля через произвольную поверхностьопределяется выражением:

. (1.17)

В качестве примера рассмотрим сферу радиуса , центром которой служит положительный точечный заряд , и определим поток электрического поля через поверхность этой сферы. Силовые линии (см., например, рис.1.6, а) выходящие из заряда, перпендикулярны поверхности сферы, и в каждой точке сферы модуль напряженности поля один и тот же

.

Площадь сферы ,

тогда .

Величина и представляет собой поток электрического поля через поверхность сферы. Таким образом, получаем. Видно, что поток через поверхность сферы электрического поля не зависит от радиуса сферы, а зависит только от самого заряда. Поэтому, если провести ряд концентрических сфер, то поток электрического поля через все эти сферы будет одинаковым. Очевидно, что число силовых линий, пересекающих эти сферы, тоже будет одинаковым. Условились число силовых линий, выходящих из заряда, принимать равным потоку электрического поля:.

Если сферу заменить любой другой замкнутой поверхностью, то поток электрического поля и число силовых линий, пересекающих ее, не изменятся. Кроме того, поток электрического поля через замкнутую поверхность, а значит и число силовых линий, пронизывающих эту поверхность, равняется не только для поля точечного заряда, но и для поля, создаваемого любой совокупностью точечных зарядов, в частности – заряженным телом. Тогда величинуследует считать как алгебраическую сумму всей совокупности зарядов, находящихся внутри замкнутой поверхности. В этом и состоит суть теоремы Гаусса, которая формулируется так:

Поток вектора напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность равняется , где  алгебраическая сумма зарядов, заключенных внутри этой поверхности.

Математически теорему можно записать в виде

. (1.18)

Отметим, что если на некоторой поверхности S вектор постоянен и параллелен вектору, то поток через такую поверхность. Преобразуя первый интеграл, мы сначала воспользовались тем, что векторыипараллельны, а значит. Затем вынесли величинуза знак интеграла в силу того, что она постоянна в любой точке сферы. Применяя теорему Гаусса для решения конкретных задач, специально в качестве произвольной замкнутой поверхности стараются выбирать поверхность, для которой выполняются описанные выше условия.

Приведем несколько примеров на применение теоремы Гаусса.

Решение. Предположим для определенности, что нить заряжена положительно. В силу симметрии задачи можно утверждать, что силовые линии будут радиально расходящимися от оси нити прямыми (рис.1.9), густота которых по мере удаления от нити уменьшается по какому-то закону. По этому же закону будет уменьшаться и величина электрического поля . Эквипотенци­аль­ны­ми поверхностями будут цилиндрические поверхности с осью, совпадающей с нитью.

Пусть заряд единицы длины нити равен . Эта величина называется линейной плотностью заряда и измеряется в СИ в единицах [Кл/м]. Для расчета напряженности поля применим теорему Гаусса. Для этого в качестве произвольной замкнутой поверхностивыберем цилиндр радиусаи длины, ось которого совпадает с нитью (рис.1.9). Вычислим поток электрического поля через площадь поверхности цилиндра. Полный поток складывается из потока через боковую поверхность цилиндра и потока через основания

.

Однако, , поскольку в любой точке на основаниях цилиндра. Это значит, чтов этих точках. Поток через боковую поверхность. По теореме Гаусса этот полный поток равен. Таким образом, получили

.

Сумма зарядов, находящихся внутри цилиндра, выразим через линейную плотность заряда :. Учитывая, что, получим

,

откуда:

, (1.19)

т.е. напряженность и густота силовых линий электрического поля равномерно заряженной бесконечной нити убывает обратно пропорционально расстоянию ().

Найдем разность потенциалов между точками, находящимися на расстояниях иот нити (принадлежащими эквипотенциальным цилиндрическим поверхностям с радиусамии). Для этого воспользуемся связью напряженности электрического поля с потенциалом в виде (1.9,в):. Учитывая выражение (1.19), получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

.

Решение. Электрическое поле равно­мер­но заряженной плоскости показано на рис. 1.10. В силу симметрии силовые линии должны быть перпендикулярны плоскости. Поэтому сразу можно сделать вывод о том, что густота линий, а, сле­до­вательно, и напряженность электри­ческого поля при удалении от плоскости меняться не будут. Эквипотенциальные поверхности пред­став­ляют собой плоскости, параллельные данной заряженной плоскости. Пусть заряд единицы площади плоскости равен . Эта величина называется поверхностной плотностью заряда и измеряется в СИ в единицах [Кл/м²].

Применим теорему Гаусса. Для этого в качестве произвольной замкнутой поверхности выберем цилиндр длиной, ось которого перпендикулярна плоскости, а основания равноудалены от нее (рис.1.10). Общий поток электрического поля. Поток через боковую поверхность равен нулю. Поток через каждое из оснований равен, поэтому. По теореме Гаусса получим:

.

Сумму зарядов, находящихся внутри цилиндра , найдем через поверхностную плотность заряда:. Тогда, откуда:

. (1.20)

Из полученной формулы видно, что напряженность поля равномерно заряженной плоскости не зависит от расстояния до заряженной плоскости, т.е. в любой точке пространства (в одной полуплоскости) одинакова и по модулю, и по направлению. Такое поле называется однородным. Силовые линии однородного поля параллельны, их густота не меняется.

Найдем разность потенциалов между двумя точками однородного поля (принадлежащим эквипотенциальным плоскостям и, лежащим в одной полуплоскости относительно заряженной плоскости (рис.1.10)). Направим осьвертикально вверх, тогда проекция вектора напряженности на эту ось равна модулю вектора напряженности. Воспользуемся уравнением (1.9):

.

Постоянную величину (поле однородно) можно вынести из под знака интеграла: . Интегрируя, получаем: . Итак, потенциал однородного поля линейно зависит от координаты.

Разность потенциалов между двумя точками электрического поля – есть напряжение между этими точками (). Обозначим расстояние между эквипотенциальными плоскостями. Тогда можно записать, что в однородном электрическом поле:

. (1.21)

Еще раз подчеркнем, что при использовании формулы (1.21) нужно помнить, что величина  не расстояние между точками 1 и 2, а расстояние между эквипотен­ци­альными плоскостями, которым эти точки принадлежат.

Решение. Воспользуемся резуль­та­том примера 1.3 и принципом суперпо­зи­ции. Согласно этому принципу резуль­тиру­ющее электрическое поле в любой точке пространства , гдеи- напряженности электрических полей первой и второй плоскости. В пространстве между плоскостями вектораинаправлены в одну сторону, поэтому модуль напряженности результирующего поля. Во внешнем пространстве вектораинаправлены в разные стороны, поэтому(рис. 1.11). Таким образом, электрическое поле есть только в пространстве между плоскостями. Оно однородно, так как является суммой двух однородных полей.

Пример 1.5. Найти напряженность и потенциал электрического поля равномерно заряженной сферы. Суммарный заряд сферы равен , а радиус сферы –.

Решение. В силу симметрии распределения заряда силовые линии должны быть направлены вдоль радиусов сферы.

Рассмотрим область внутри сферы. В качестве произвольной поверхности выберем сферу радиуса, центр которой совпадает с центром заряженной сферы. Тогда поток электрического поля через сферуS: . Сумма зарядов внутри сферырадиусаравна нулю, поскольку все заряды располагаются на поверхности сферы радиуса . Тогда по теореме Гаусса: . Поскольку, то. Таким образом внутри равномерно заряженной сферы поля нет.

Рассмотрим область вне сферы. В качестве произвольной поверхности выберем сферу радиуса, центр которой совпадает с центром заряженной сферы. Поток электрического поля через сферу:. Сумма зарядов внутри сферы равна полному зарядузаряженной сферы радиуса. Тогда по теореме Гаусса:. Учитывая, что, получим:

.

Рассчитаем потенциал электрического поля. Удобнее начать с внешней области , поскольку мы знаем, что на бесконечном расстоянии от центра сферы потенциал принимается равным нулю. Используя уравнение (1.11,а) получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

.

Константа , посколькупри. Таким образом, во внешнем пространстве ():.

Точки на поверхности заряженной сферы () будут иметь потенциал.

Рассмотрим область . В этой области, поэтому из уравнения (1.11,а) получаем:. В силу непрерывности функцииконстантадолжна быть равна значению потенциала на поверхности заряженной сферы:. Таким образом, потенциал во всех точках внутри сферы:.

Величину скачка можно выразить через поверхностную плотность заряда на сфере:

.

Заметим, что это общее свойство электростатического поля: на заряженной поверхности проекция напряженности на направление нормали всегда испытывает скачок независимо от формы поверхности. Рекомендуем проверить этот принцип для поля равномерно заряженной плоскости и поля двух параллельных заряженных плоскостей (примеры 1.3, 1.4).

С точки зрения математики непрерывность потенциала в точках заряженной поверхности означает, что. С точки зрения физики непрерывность функцииможно объяснить следующим образом. Если бы потенциал на границе некоторой области имел бы скачок (разрыв), то при бесконечно малом перемещении некоторого зарядаиз точки 1, лежащей с одной стороны границы, в точку 2, лежащую на другой ее стороне, совершалась бы конечная работа, гдеи потенциалы точек 1 и 2 соответственно, а величина равна величине скачка потенциала на границе области. Конечная работа, совершенная на бесконечно малом перемещении, означает, что на границе раздела бы действовали бесконечно большие силы, что невозможно.

Напряженность электрического поля, в отличие от потенциала, на границе области может меняться очень резко (скачкообразно).

Пример 1.6.Две концентрические сферы радиусови() равномерно заряжены равными по модулю, но противоположными по знаку зарядамии(сферический конденсатор). Определить напряженность и потенциал электрического поля во всем пространстве.

Решение. Решение этой задачи можно было бы также начать с применения теоремы Гаусса. Однако, используя результаты предыдущего примера и принцип суперпозиции (1.13, 1.14), ответ можно получить быстрее.

Во внешних точках пространства () электрическое поле создается зарядами обеих сфер. Величина напряженности поля первой сферыи направлена от сфер вдоль радиусов. Величина напряженности поля второй сферы такая же, но направлена противоположно. Следовательно, согласно принципу суперпозиции, во всех внешних точках пространства электрическое поле будет отсутствовать.

Рассмотрим точки пространства между сферами (). Эти точки являются внутренними для отрицательно заряженной сферы, поэтому в этой области(см. пример 1.5). Для положительно заряженной сферы эти точки являются внешними, поэтому. Таким образом, величина напряженности поля в этой области. Здесь поле создают только заряды меньшей сферы.

Наконец, во внутренних точках пространства ()и, поэтому электрического поля в этих точках нет.

Аналогично можно применить принцип суперпозиции и для потенциалов. Получаются следующие результаты:

: ;

: ;

: .

Рекомендуем самостоятельно получить эти результаты, а также схематически изобразить электрическое поле и построить графики и.