4.3. Вынужденные колебания в lcr-контуре
,
где циклическая частота колебаний ЭДС.
Согласно второму правилу Кирхгофа сумма падений напряжений на отдельных элементах контура равна внешней ЭДС:
.
Обозначая и учитывая, что,, получим
. (4.18)
Уравнение (4.18) называется дифференциальным уравнением вынужденных колебаний под действием синусоидальной ЭДС.
С точки зрения математики уравнение (4.18) представляет собой линейное неоднородное (правая часть отлична от нуля) дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Решение данного уравнения представляет собой сумму двух слагаемых
.
Первое слагаемое – общее решение однородного уравнения (с правой частью, равной нулю), второе слагаемое – частное решение неоднородного уравнения. Первое слагаемое в точности совпадает с уравнением (4.13) и представляет собой затухающие колебания заряда конденсатора с циклической частотой . Второе слагаемое соответствует собственным вынужденным колебаниям заряда с циклической частотой вынуждающей силы. Таким образом, в начальный момент времени колебания представляют собой сумму колебаний с частотамии. Такой режим колебаний называетсяпереходным. Первое слагаемое экспоненциально затухает за время по порядку величины, равное времени затухания. Переходный режим заканчивается и наступает режимустановившихся вынужденных колебаний с частотой вынуждающей силы
. (4.19)
Характеристики вынужденных колебаний изависят, во-первых, от параметров вынуждающей силыи, во-вторых, от параметров самой колебательной системыи, но не зависят от начальных условий. Подставляя функцию(4.19) в уравнение (4.18), можно найти выражение для амплитуды вынужденных колебанийи величины. Опуская математические выкладки, приведём конечные результаты:
, (4.20)
. (4.21)
Пример 4.3. Вывести формулу для величин резонансной частоты и максимальной амплитудыBmax (рис. 4.6).
Решение. Для того чтобы найти точку максимума резонансной кривой, нужно в соответствии с правилами математики взять производную функции(4.20) и приравнять её к нулю:. В результате получится.
Далее, подставляя значение в формулу 4.20, получим, гдециклическая частота затухающих колебаний.
Если частота внешней силы , то значение амплитуды по формуле (4.20), что соответствует статическому заряду конденсатора, приобретаемому при подключении его кпостояннойЭДС.
Отношение резонансной амплитуды к величине статического отклонения колебательной системыназываетсядобротностью колебательной системы.
Используя формулы для и(см. пример 4.3), а также связь циклической частоты с периодом колебаний, получим:
.
Поскольку логарифмический декремент затухания, то:
. (4.22)
Чем меньше декремент затухания, тем выше добротность контура, и тем более он пригоден для радиотехники.
Далее мы покажем, что добротность контура пропорциональна отношению энергии, запасённой в контуре, к её потерям за период колебаний (т.е. энергии, выделяющейся в контуре за период в виде тепла).
- Оглавление
- Введение
- 1. Электростатика
- 1.1. Закон Кулона
- 1.2. Электрическое поле и его характеристики
- 1.3. Связь напряженности электрического поля и потенциала
- 1.4. Электрическое поле точечного заряда. Принцип суперпозиции
- 1.5. Графическое изображение электрических полей. Силовые линии и эквипотенциальные поверхности
- 1.6. Теорема Гаусса для электрического поля в вакууме
- 1.7. Проводники в электрическом поле
- 1.8. Электрическое поле в диэлектриках
- 1.9. Теорема Гаусса для электрического поля в диэлектриках
- 1.10. Конденсаторы
- 1.11. Энергия электрического поля
- 1.12. Потенциальность электрического поля. Теорема о циркуляции
- 2. Постоянный электрический ток
- 2.1. Закон Ома для однородного участка цепи
- 2.2. Работа и мощность электрического тока. Закон Джоуля - Ленца
- 2.3. Последовательное и параллельное соединение проводников
- 2.4. Источники тока. Закон Ома для полной цепи
- 2.5. Химические источники тока. Элемент Вольта
- 2.6. Закон Ома для неоднородного участка цепи
- 2.7. Правила Кирхгофа
- Для лучшего уяснения всех нюансов, возникающих при применении правил Кирхгофа, рассмотрим пример достаточно разветвленной цепи.
- 2.8. Закон Ома в дифференциальной форме. Электронная теория проводимости
- 3. Магнетизм
- 3.1. Магнитное поле. Сила Лоренца
- 3.2. Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях
- 3.3. Сила Ампера
- 3.4. Рамка с током в магнитном поле
- 3.5. Эффект Холла
- 3.6. Вычисление магнитной индукции. Закон Био-Савара-Лапласа
- 3.7. Циркуляция и поток вектора магнитной индукции
- 3.8. Работа по перемещению контура с током в магнитном поле. Работа электродвигателя
- 3.9. Индуктивность
- 3.10. Закон электромагнитной индукции
- 3.11. Правило Ленца
- 3.12. Явления при замыкании и размыкании тока. Энергия магнитного поля
- 3.13. Генераторы и электродвигатели
- 3.14. Трансформаторы
- 3.15. Природа электромагнитной индукции
- 3.16. Магнитное поле в веществе
- 3.17. Теорема о циркуляции магнитного поля в веществе. Напряженность магнитного поля
- 3.18. Молекулярная теория магнетизма
- 3.19. Ток смещения. Уравнения Максвелла
- 3.20. Природа магнетизма
- 4. Электромагнитные колебания и волны
- 4.1. Колебательный контур
- 4.2. Колебательный контур с затуханием
- 4.3. Вынужденные колебания в lcr-контуре
- 4.4. Переменный ток в электрических цепях
- 4.4.1. Активное, индуктивное и емкостное сопротивления
- 4.4.2. Закон Ома для переменного тока. Активное и реактивное сопротивления
- 4.4.3. Метод векторных диаграмм
- 4.4.4. Эффективные напряжение и ток
- 4.4.5. Мощность в цепи переменного тока
- 4.5. Электромагнитные волны
- 4.5.1. Шкала электромагнитных волн
- 4.5.2. Получение электромагнитных волн
- 4.5.3. Энергия электромагнитных волн. Вектор Умова-Пойнтинга
- Список литературы