4.4.3. Метод векторных диаграмм
Закон Ома для амплитуд переменных токов внешне напоминает закон Ома для постоянного тока. А как выглядят законы последовательного и параллельного соединения элементов в цепи переменного тока? Как можно рассчитать токи и напряжения на отдельных элементах в случае разветвлённых цепей?
Если два синусоидальных тока исходятся в узле, то суммарный ток, вытекающий из узла. Очевидно, что амплитуда суммарного тока в общем случае может быть не равна сумме амплитуд втекающих в узел токов:. Действительно, колебания токовипроисходят с некоторой разностью фаз (величиныиразные), а значит, токиине одновременнодостигают максимума или минимума.
(4.25)
и начальной фазой , определяемой из уравнения
. (4.26)
Точно так же складываются напряжения при последовательном соединении элементов цепи.
Итак, складывать токи и напряжения в цепи с переменным синусоидальным током нужно векторно. Законы для последовательного и параллельного соединения двух элементов можно записать в виде
и соответственно.
Приведём несколько примеров.
,,.
Вектор направлен вдоль оси 0xтак как напряжение на активном сопротивлении колеблется в одной фазе с током. Так как напряжение на индуктивности опережает ток по фазе на, векторповёрнут относительно оси 0xна уголпротив часовой стрелки, т.е. направлен вдоль положительного направления оси 0y. Так как напряжение на ёмкости отстаёт от тока по фазе на, векторповёрнут относительно оси 0xна уголпо часовой стрелке, т.е. направлен вдоль отрицательного направления оси 0y. По закону последовательного соединения амплитудусуммарного напряжения в цепи найдём из векторного уравнения:. Сначала удобно сложить противоположно направленные вектораи. Их сумма равна вектору, направленному вдоль оси 0yи по величине равному, гдереактивное сопротивление цепи. Далее по теореме Пифагора находим величину результирующего вектора
.
Последняя формула в точности совпадает с формулой (4.23).
Используя векторную диаграмму, легко найти сдвиг фаз между током в цепи и суммарным напряжением на концах цепи. Сдвиг фаз равен углу между векторамии. Из прямоугольного треугольника
. (4.27)
Для нормального функционирования электрической схемы параметры всех её элементов должны быть точно рассчитаны. Как правило, расчёт электрических цепей с переменным током, содержит больше нюансов по сравнению со схемами питания постоянным током. Например, вблизи резонанса напряжение на отдельном элементе схемы может во много раз превышать амплитуду напряжения генератора.
Пример 4.5.Рассчитать допустимую амплитуду напряжения генераторав электрической цепи на рис. 4.5, если пробой конденсатора наступает при напряженииВ. Параметры схемы:мкФ,Гн,Ом, частота генератораГц.
Решение.Циклическая частота генератора, индуктивное и ёмкостное сопротивления:
(Ом),(Ом).
Полное сопротивление цепи
(Ом).
Для того, чтобы не было пробоя конденсатора, амплитуда напряжения на нём не должно превышать значение :. Амплитуда напряжения на конденсаторе. По закону Ома (4.24) амплитуда тока в цепи. Таким образом
,(В).
Вывод: амплитуда напряжения генератора ~ 8 В приведёт к пробою конденсатора, выдерживающего напряжение 500 В!
Пример 4.6.К генератору переменного синусоидального тока подключён резистор с сопротивлением. Во сколько раз изменится амплитуда силы тока генератора, если к резистору подключить катушку с индуктивным сопротивлениема) последовательно, б) параллельно? Активным сопротивлением катушки пренебречь.
.
Далее находим амплитуду силы тока
.
Так как по условию задачи , получаем:
.
Поскольку в отсутствие катушки , можно сделать вывод о том, что амплитуда силы тока генератора при последовательном включении в цепь катушки уменьшится враз. Заметим, что если бы вместо индуктивности мы последовательно включили ещё одно такое же активное сопротивление, амплитуда силы тока уменьшилась бы в 2 раза.
Теперь рассмотрим параллельное включение в цепь катушки (рис. 4.10,б). По закону параллельного соединения . При построении векторной диаграммы в этом случае удобно сначала отложить вектор амплитуды напряжения в цепивдоль оси 0x(рис. 4.11,б). Тогда, поскольку ток и напряжение на активном сопротивлении колеблются в одной фазе, вектор амплитуды силы токачерез сопротивлениебудет направлен так же вдоль оси 0x. Поскольку колебания тока через индуктивность отстают от напряжения по фазе на, вектор амплитуды силы токабудет направлен антипараллельно оси 0y. По закону параллельного соединения амплитуда суммарного тока генератора:. Так как вектораивзаимно перпендикулярны, тои с использованием закона Ома для отдельных участков цепи получаем
.
Так как по условию задачи , получаем соотношение
,
из которого можно сделать вывод о том, что амплитуда силы тока генератора при параллельном включении в цепь катушки увеличится в раз. Заметим, что если бы вместо индуктивности мы параллельно включили в цепь ещё одно такое же активное сопротивление, то суммарное сопротивление уменьшилось бы в 2 раза, а амплитуда силы тока генератора возросла в 2 раза.
- Оглавление
- Введение
- 1. Электростатика
- 1.1. Закон Кулона
- 1.2. Электрическое поле и его характеристики
- 1.3. Связь напряженности электрического поля и потенциала
- 1.4. Электрическое поле точечного заряда. Принцип суперпозиции
- 1.5. Графическое изображение электрических полей. Силовые линии и эквипотенциальные поверхности
- 1.6. Теорема Гаусса для электрического поля в вакууме
- 1.7. Проводники в электрическом поле
- 1.8. Электрическое поле в диэлектриках
- 1.9. Теорема Гаусса для электрического поля в диэлектриках
- 1.10. Конденсаторы
- 1.11. Энергия электрического поля
- 1.12. Потенциальность электрического поля. Теорема о циркуляции
- 2. Постоянный электрический ток
- 2.1. Закон Ома для однородного участка цепи
- 2.2. Работа и мощность электрического тока. Закон Джоуля - Ленца
- 2.3. Последовательное и параллельное соединение проводников
- 2.4. Источники тока. Закон Ома для полной цепи
- 2.5. Химические источники тока. Элемент Вольта
- 2.6. Закон Ома для неоднородного участка цепи
- 2.7. Правила Кирхгофа
- Для лучшего уяснения всех нюансов, возникающих при применении правил Кирхгофа, рассмотрим пример достаточно разветвленной цепи.
- 2.8. Закон Ома в дифференциальной форме. Электронная теория проводимости
- 3. Магнетизм
- 3.1. Магнитное поле. Сила Лоренца
- 3.2. Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях
- 3.3. Сила Ампера
- 3.4. Рамка с током в магнитном поле
- 3.5. Эффект Холла
- 3.6. Вычисление магнитной индукции. Закон Био-Савара-Лапласа
- 3.7. Циркуляция и поток вектора магнитной индукции
- 3.8. Работа по перемещению контура с током в магнитном поле. Работа электродвигателя
- 3.9. Индуктивность
- 3.10. Закон электромагнитной индукции
- 3.11. Правило Ленца
- 3.12. Явления при замыкании и размыкании тока. Энергия магнитного поля
- 3.13. Генераторы и электродвигатели
- 3.14. Трансформаторы
- 3.15. Природа электромагнитной индукции
- 3.16. Магнитное поле в веществе
- 3.17. Теорема о циркуляции магнитного поля в веществе. Напряженность магнитного поля
- 3.18. Молекулярная теория магнетизма
- 3.19. Ток смещения. Уравнения Максвелла
- 3.20. Природа магнетизма
- 4. Электромагнитные колебания и волны
- 4.1. Колебательный контур
- 4.2. Колебательный контур с затуханием
- 4.3. Вынужденные колебания в lcr-контуре
- 4.4. Переменный ток в электрических цепях
- 4.4.1. Активное, индуктивное и емкостное сопротивления
- 4.4.2. Закон Ома для переменного тока. Активное и реактивное сопротивления
- 4.4.3. Метод векторных диаграмм
- 4.4.4. Эффективные напряжение и ток
- 4.4.5. Мощность в цепи переменного тока
- 4.5. Электромагнитные волны
- 4.5.1. Шкала электромагнитных волн
- 4.5.2. Получение электромагнитных волн
- 4.5.3. Энергия электромагнитных волн. Вектор Умова-Пойнтинга
- Список литературы