1.3. Связь напряженности электрического поля и потенциала

Предположим, что нам известен потенциал  электрического поля во всех точках пространства. Как найти напряженность поля в некоторой точке?

Выберем в пространстве, где существует электрическое поле, декартову прямоугольную систему координат. Перенесем некоторый пробный заряд q вдоль оси x на малое расстояние . Тогда работа электрического поля по перемещению зарядаq из одной точки в другую

,

где и () – начальная и конечная координаты заряда, а– изменение потенциала заряда.

С другой стороны по определению элементарная работа силы (на небольшом участке траектории) есть скалярное произведение векторов и приращения радиус-вектора :

,

где  проекции вектора силы на соответствующие оси прямоугольной системы координат.

Так как заряд перемещается вдоль оси , то его координатыине меняются:. Следовательно, получаем:

.

Приравнивая правые части полученных для величины выражений:, для проекции вектора напряженности на осьx получим:

, (1.9)

т.е. проекция вектора напряженности электрического поля на ось x равна производной потенциала по направлению оси x, или, другими словами, равна градиенту потенциала в этом направлении.

Аналогично, смещая заряд вдоль оси или вдоль оси, можно найти величины проекцийи:

, (1.9,а)

. (1.9,б)

Итак, все три компоненты вектора напряженности электрического поля известны:

. (1.9,в)

Вектор, стоящий справа в последнем уравнении, называется градиентом скалярной функции и обозначается. Таким образом

, (1.10)

т.е. две характеристики электрического поля – напряженность и потенциал связаны друг с другом. Зная потенциал в каждой точке пространства, где существует электрическое поле, можно определить вектор напряженностив каждой точке этого пространства, и наоборот.