Измерение сигнала произвольной формы

В случае, когда измеряемый сигнал имеет произвольную форму  , выражение для   в общем случае имеет вид свертки входного сигнала и импульсной характеристики измерительного канала   [Попов]:

где   - переменная интегрирования.

Импульсная характеристика   является реакцией измерительного канала на входной сигнал в форме дельта-функции Дирака  . Вместо импульсной характеристики можно использовать реакцию на единичный скачок  , при этом выражение для   запишется в виде и нтеграла Дюамеля [Попов]

К сожалению, более простого выражения не существует и интегралы (4.70) и (4.71) нужно брать для каждой конкретной формы входного сигнала  . Сделать это аналитически, как правило, невозможно. Наиболее удобным способом является численное интегрирование или моделирование, например, с помощью программ Matlab, MathCAD.

Однако для многоканальной системы сбора данных с одним АЦП и коммутацией входных каналов (рис. 4.9) получить приближенное выражение для динамической погрешности в общем случае, независимо от формы сигнала на входе системы, возможно. Для этого воспользуемся тем, что отсчеты входного сигнала в системах сбора данных берутся обычно так часто, что при разложении функции   в ряд Тейлора на интервале между отсчетами можно ограничиться линейным членом разложения (4.5). Иначе говоря, при произвольной форме входного сигнала и достаточно высокой частоте дискретизации функцию   можно аппроксимировать прямой линией на участке   (рис. 4.124), где   - момент замыкания ключа входного коммутатора;   - момент появления сигнала на выходе модуля ввода:

Максимальную погрешность такой аппроксимации можно оценить по величине третьего члена ряда Тейлора

где точка   выбирается на интервале   таким образом, чтобы величина второй производной в ней была наибольшей. В частности, если входной сигнал описывается линейной зависимостью, то для него   для всех точек интервала  .

Рассмотрим сначала случай с фильтром первого порядка, когда передаточная функция  описывается выражением (4.64). Импульсную характеристику фильтра можно получить с помощью обратного преобразования Лапласа от выражения (4.64), в котором переменная   заменена на комплексную частоту  :

Подставляя (4.74) и (4.72) в (4.70), получим выражение для функции   на интервале  :

Вычитая из полученного выражения сигнал на входе   (4.72), получим величину абсолютной погрешности   в виде

Таким образом, при достаточно большом   (точнее, при  ) абсолютная динамическая погрешность не приближается к нулю, а остается постоянной, равной  . При малых  , на начальном участке переходного процесса, погрешность экспоненциально уменьшается с течением времени.

Пользуясь выражением (4.76), можно записать выражение для приведенной погрешности

где   - верхняя граница диапазона измерений;  . Используя обозначение   в (4.72), получим:

Из этой формулы виден физический смысл параметра  : это время, за которое входной сигнал проходит интервал от   до   при условии, что он сохранит линейность на этом интервале.

Отметим, что при   выражение (4.77) совпадает с (4.67), а при   - с (4.69).

Графики зависимости модуля динамической погрешности от времени, построенные по выражению (4.77) при  , показаны на рис. 4.125. Например, если постоянная времени фильтра первого порядка   равна 1 с, то для того, чтобы динамическая погрешность не превышала 0,1%, отношение   должно быть не более 0,001 (см. рис. 4.125), откуда  >1000 , т.е. скорость нарастания входного сигнала должна быть такой, чтобы интервал от   до   был пройден за время не менее 1000 =1000 с. Если уравнение (4.78) нормировать на  , чтобы перейти к относительным величинам  ,

то можно сказать, что скорость нарастания входного сигнала   должна быть не более 0,001  , или 0,1  .

Аналогичное соотношение можно получить для фильтра второго порядка с передаточной функцией  .

Выражение для приведенной погрешности будет иметь вид

При  , как и в системе первого порядка, погрешность стремится к постоянной величине  .

Можно показать, что для фильтра  -го порядка, описываемого полиномом вида  , погрешность стремится к величине   при  .

Таким образом, для многоканальной системы сбора данных с одним АЦП и коммутацией входных каналов (рис. 4.9) динамическая погрешность измерений не зависит от формы измеряемого сигнала и ее величину можно оценить по графику на рис. 4.125 или формуле (4.77).