4.1.5. Точечные и интервальные оценки погрешности

Рис. 4.3. Иллюстрация понятий доверительного интервала и доверительной вероятности

Погрешности средств измерений и измерительных каналов средств автоматизации могут быть выражены двумя различными способами: с помощью точечных оценок и с помощью интервальных. К точечным оценкам относится математическое ожидание погрешности и среднеквадратическое отклонение. В качестве интервальной оценки используют интервал погрешности, который охватывает все возможные значения погрешности измерений с вероятностью  . Эта вероятность называется доверительной или надежностью оценки погрешности.

Предел допускаемой погрешности можно рассматривать как точечную оценку или как интервальную для доверительной вероятности, равной единице.

Интервальная оценка является более гибкой, поскольку она позволяет указать погрешность измерений в зависимости от того, какая требуется вероятность реализации этой погрешности для конкретных условий эксплуатации средства измерений.

Смысл интервальной оценки погрешности иллюстрируетсярис. 4.3. Здесь использованы следующие обозначения:   - погрешность измерения;   - плотность распределения погрешностей  ;   - функция распределения погрешностей,  . Для нормального закона распределения погрешностей (закона Гаусса) плотность распределения центрированной случайной величины   описывается функцией  , где   - среднеквадратическая погрешность.

Если погрешность измерения   находится внутри интервала  , то вероятность этого события вычисляется как

В наиболее типичном случае симметричных границ ( ) получим

Здесь использовано свойство симметрии функции распределения для закона Гаусса.

Таким образом, если задан интервал  , который содержит в себе погрешность измеряемого параметра  , то вероятность того, что погрешность   не выходит за границы интервала, можно найти по формуле (4.36) для нормального закона распределения. Вероятность   называют также надежностью оценки погрешности и обозначают символом  :

Для вычисления функции распределения удобно использовать пакеты MathCAD, Matlab. С их помощью из формулы (4.37) несложно найти величину доверительного интервала  , если задана величина надежности  .

Для   доверительная вероятность  =68,3%; для    =95,3%; для    =99,7% и для    = 99,994%.

Для увеличения надежности оценки погрешности измерений или для сужения доверительного интервала при заданной надежности можно использовать усреднение результатов многократных измерений. Поскольку оценка среднеквадратической погрешности результата усреднения   равна   (см. (3.2)), где   - среднеквадратическая погрешность средства измерений,   - количество однократных измерений, то, подставив в (4.37) вместо   величину  , получим

Эта формула позволяет найти количество однократных измерений  , которое необходимо усреднить для получения требуемого доверительного интервала   при заданной надежности   или требуемой надежности   при заданном доверительном интервале  . Поскольку формула (4.38) задана в неявном виде, для нахождения требуемых неизвестных следует воспользоваться математическими пакетами для компьютерных вычислений.

Следует иметь в виду, что повышение точности путем усреднения результатов многократных измерений имеет множество ограничений(см. п. "Многократные измерения").

Проблемой использования интервального метода оценки погрешности является необходимость знания закона распределения погрешностей.

Отметим, что доверительные интервалы, полученные из рассеяния множества измерений, никак не учитывают систематическую погрешность измерений. Интересные примеры из истории определения расстояния до Солнца, заряда электрона и др. приводятся в книге [Тутубалин]. Ученые, которые делали эти выдающиеся измерения, указывали доверительные вероятности для оценки точности своих измерений. Однако ни одна из этих оценок не выдержала испытания временем: каждое новое, более точное измерение не укладывается в предсказанный ранее доверительный интервал. Это связано с тем, что систематическую погрешность или наличие ошибки в постановке эксперимента, в учете факторов, о существовании которых мы не знаем, оценить невозможно, не имея более точного измерительного прибора.