2.3. Последовательное и параллельное соединение проводников
В практике электрические цепи представляют собой самые разные варианты соединения проводников, поэтому нужно уметь сложные цепи поэтапно сводить к двум важнейшим случаям: последовательномуипараллельномусоединению проводников. Законы параллельного и последовательного соединения проводников выводятся практически так же, как и законы параллельного и последовательного соединения конденсаторов (см. п.1. 10).
Общим сопротивлением участка цепи АВ назовем отношение напряжения на концах участка к полной силе тока, идущего по участку:.
Тогда из последних двух уравнений и закона Ома следует: . Учитывая равенство токов, получим:. Таким образом, в случае последовательного соединения проводников их общее сопротивление равно сумме сопротивлений:
. (2.8)
.
Итак, в случае параллельного соединения проводников их общее сопротивление вычисляется по формуле:
. (2.9)
Предлагаем читателям самостоятельно обобщить формулы (2.8) и (2.9) на случай произвольного количества проводников.
Результаты (2.8) и (2.9) легко объяснить на примере двух одинаковых проводников с сопротивлением R. В случае последовательного соединения: , а в случае параллельного:. Действительно, последовательное соединение двух одинаковых проводников будет эквивалентно увеличению в 2 раза общей длины провода, а, следовательно, увеличению в 2 раза и общего сопротивления (см. (2.3)). Параллельное соединение двух одинаковых проводников эквивалентно увеличению в 2 раза площади сечения провода. В этом случае общее сопротивление уменьшится в 2 раза.
Решение. Последовательно, шаг за шагом, упрощаем исходную схему (рис.2.3). Заменим параллельно соединенные сопротивления R2 и R3, а также R4 и R5 на их результирующие сопротивления R23 и R45 и от схемы (а) перейдем к схеме (б). Согласно формуле (2.9):
Ом.
Точно так же получаем Ом. СопротивленияR1 и R23 схемы (б) соединены последовательно. По формуле (2.8) находим эквивалентное им сопротивление: (Ом) и переходим к схеме (в). Так как сопротивления схемы (в) соединены параллельно, эквивалентное им сопротивление определяется по формуле (2.9):
Ом.
Итак, мы нашли сопротивление участка цепи АВ, придя к простейшей схеме (г).
Пример 2.4. Определить общий ток в цепи и ток через сопротивление R3 в схеме на рис. 2.3, если разность потенциалов между точками А и В В. Все сопротивления одинаковы и равны 8 Ом.
Решение. Прежде всего, нужно определить общее сопротивление участка цепи Ом (см. пример 2.3). Далее решение задачи сводится к последовательному расчету схем г, в, б, а.
Схема (г). По закону Ома находим ток через сопротивление R0 (общий ток в цепи): (Ом).
Схема (в). Так как сопротивления R123 и R45 соединены параллельно, то В. Находим токи через эти сопротивления:А,А. Заметим, что токможно было определить и по-другому. Для параллельного соединения проводников имеем:А.
Схема (б). Через сопротивления R1 и R23 течет один и тот же ток, так как они соединены последовательно. Причем этот ток равен току через эквивалентное им сопротивление R123 (который мы нашли, рассчитывая цепь (в)): А. Таким образом, мы можем рассчитать напряжение на сопротивленииR23: В.
Схема (а). Так как сопротивления R2 и R3 соединены параллельно, то В (величинумы нашли, рассчитывая схему (б)). ТогдаА.
Токи и напряжения на оставшихся сопротивлениях рекомендуем рассчитать самостоятельно.
Пример 2.5. Найти сопротивление между точками А и В цепи, изображенной на рис. 2.4. ,,,.
Итак, сопротивления иподсоединены к точкам с одинаковыми потенциалами. Напряжения на этих сопротивлениях совпадают:(напряжение на первом сопротивлении, а на втором ). Следовательно, можно считать, что сопротивленияисоединены параллельно, и точку 1 соединить с точкой 3 (рис. 2.4). Отметим, что соединение точек с одинаковыми потенциалами является одним из принципов нахождения общего сопротивления участка цепи.
Используя вышесказанное, преобразуем цепь так, как показано на рис. 2.4. Легко определить, что . Сопротивленияисоединены последовательно и т. д. Конечный результат получить несложно:.
Наиболее универсальным методом для расчета сложных электрических цепей является применение правил Кирхгофа (см. п. 2.6). Здесь же мы покажем, как в некоторых случаях можно обойтись и без этих правил.
Для того, чтобы найти сопротивление, например, между точками 1 и 2, нужно подать разность потенциалов на эти точки. Тогда в схеме «звезда» ток через сопротивление r3 не пойдет и сопротивления r1 и r2 соединены последовательно, поэтому сопротивление между точками 1 и 2 равно . В схеме «треугольник» сопротивление между точками 1 и 2
,
(сопротивления R13 и R23 будут соединены последовательно, а их общее сопротивление и сопротивлениеR12 будут соединены параллельно). Для того чтобы сопротивления между точками 1 и 2 были одинаковыми в обеих схемах, необходимо, чтобы
.
Аналогичные выражения можно получить для точек 1 и 3, 2 и 3:
, .
Решая систему из трех полученных уравнений, получим формулы для прямого:
(2.10)
и для обратного преобразования:
(2.11)
Пользуясь формулами (2.10) и (2.11), можно производить замену одной схемы другой. Например, «звезду с сопротивлениями 1 Ом можно заменить «треугольником» с сопротивлениями 3 Ом (рис. 2.7).
Пример 2.6. В схеме на рис. 2.5 Ом,Ом. Определить: 1) сопротивление участка цепиАВ, 2) ток через сопротивление , если точкиА и В подключены к напряжению В.
Для нахождения общего сопротивления участка можно было выбрать несколько вариантов преобразования исходной схемы. Например, можно было сначала «треугольник» CBD превратить в «звезду» или, наоборот, «звезду» с центром в узле С (или D) превратить в треугольник. Однако, помимо общего сопротивления, нам необходимо найти еще и ток через сопротивление R5. Поэтому схему нужно преобразовать так, чтобы не затронуть интересующее нас сопротивление R5. Этим мы и руководствовались при выборе преобразований.
Рассматривая упрощенные схемы, также как и в примере 2.4, легко получить, что общий ток, поступающий на участок цепи АВ А, а ток через сопротивлениеR5: А.
- Оглавление
- Введение
- 1. Электростатика
- 1.1. Закон Кулона
- 1.2. Электрическое поле и его характеристики
- 1.3. Связь напряженности электрического поля и потенциала
- 1.4. Электрическое поле точечного заряда. Принцип суперпозиции
- 1.5. Графическое изображение электрических полей. Силовые линии и эквипотенциальные поверхности
- 1.6. Теорема Гаусса для электрического поля в вакууме
- 1.7. Проводники в электрическом поле
- 1.8. Электрическое поле в диэлектриках
- 1.9. Теорема Гаусса для электрического поля в диэлектриках
- 1.10. Конденсаторы
- 1.11. Энергия электрического поля
- 1.12. Потенциальность электрического поля. Теорема о циркуляции
- 2. Постоянный электрический ток
- 2.1. Закон Ома для однородного участка цепи
- 2.2. Работа и мощность электрического тока. Закон Джоуля - Ленца
- 2.3. Последовательное и параллельное соединение проводников
- 2.4. Источники тока. Закон Ома для полной цепи
- 2.5. Химические источники тока. Элемент Вольта
- 2.6. Закон Ома для неоднородного участка цепи
- 2.7. Правила Кирхгофа
- Для лучшего уяснения всех нюансов, возникающих при применении правил Кирхгофа, рассмотрим пример достаточно разветвленной цепи.
- 2.8. Закон Ома в дифференциальной форме. Электронная теория проводимости
- 3. Магнетизм
- 3.1. Магнитное поле. Сила Лоренца
- 3.2. Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях
- 3.3. Сила Ампера
- 3.4. Рамка с током в магнитном поле
- 3.5. Эффект Холла
- 3.6. Вычисление магнитной индукции. Закон Био-Савара-Лапласа
- 3.7. Циркуляция и поток вектора магнитной индукции
- 3.8. Работа по перемещению контура с током в магнитном поле. Работа электродвигателя
- 3.9. Индуктивность
- 3.10. Закон электромагнитной индукции
- 3.11. Правило Ленца
- 3.12. Явления при замыкании и размыкании тока. Энергия магнитного поля
- 3.13. Генераторы и электродвигатели
- 3.14. Трансформаторы
- 3.15. Природа электромагнитной индукции
- 3.16. Магнитное поле в веществе
- 3.17. Теорема о циркуляции магнитного поля в веществе. Напряженность магнитного поля
- 3.18. Молекулярная теория магнетизма
- 3.19. Ток смещения. Уравнения Максвелла
- 3.20. Природа магнетизма
- 4. Электромагнитные колебания и волны
- 4.1. Колебательный контур
- 4.2. Колебательный контур с затуханием
- 4.3. Вынужденные колебания в lcr-контуре
- 4.4. Переменный ток в электрических цепях
- 4.4.1. Активное, индуктивное и емкостное сопротивления
- 4.4.2. Закон Ома для переменного тока. Активное и реактивное сопротивления
- 4.4.3. Метод векторных диаграмм
- 4.4.4. Эффективные напряжение и ток
- 4.4.5. Мощность в цепи переменного тока
- 4.5. Электромагнитные волны
- 4.5.1. Шкала электромагнитных волн
- 4.5.2. Получение электромагнитных волн
- 4.5.3. Энергия электромагнитных волн. Вектор Умова-Пойнтинга
- Список литературы