4.8.3. Улучшенное спектральное моделирование дискретных сигналов()

Для ускорения вычисления коэффициентов Фурье дискретных, т. е. представленных своими отсчетами, сигналов широко используется простой метод прямоугольников. Если сигнал представлен только своими равномерно распределенными отсчетами, то такой метод является единственным научно обоснованным методом, обеспечивающим минимальную среднеквадратическую ошибку приближения. Однако, в соответствии с теоремой Котельникова, максимальное число гармоник в спектре сигнала равно половине числа отсчетов. Ограничение числа гармоник служит причиной возникновения эффекта Гиббса (сильные колебания в особых точках сигналов).

Кардинальное улучшение моделирования сигналов при спектральном методе достигается заменой дискретных отсчетов функции на плавную функциюy(t), получаемую при той или иной методике интерполяции - рис.4.36. При этом появляется возможность задавать произвольное число отсчетов по интерполируемой функции y(t) и получить сколь угодно большое число гармоник для ее синтеза.

Рис. 4.36.Улучшенный спектральный анализ с прямой линейной интерполяцией функции между узлами (начало документа)

Этот прием дает блестящие результаты — при достаточно большом числе выбранных для синтеза гармоник синтезируемая функция почти повторяет исходную, а эффект Гиббса исчезает практически полностью.

Как видно из второй части документа (рис. 4.37), степень совпадения исходной и синтезируемой функций очень высока даже при числе используемых гармоник M=20. Это свидетельствует о высокой степени достоверности моделирования сложного сигнала на основе описанного подхода. При необходимости в формулы синтеза сигнала можно ввести поправочные множители, учитывающие искажения сигнала теми или иными устройствами, и обеспечить полную реализацию спектрального моделирования. Пример такого искажения, характерного для усилителя с верхней граничной частотой в 2 МГц также дан на рис. 4.37 (вторая формула синтеза). Нетрудно заметить, что искажения сигнала в этом случае заметно возросли.

Рис. 4.37. Улучшенный спектральный анализ с прямой линейной интерполяцией функции между узлами (конец документа)

Описанная методика спектрального анализа наглядна и дает хорошие результаты при небольшом числе используемых гармоник - порядка десятков, иногда сотен. Однако реальные сигналы нередко бывают представлены многими тысячами отсчетов. В этом случае время спектрального моделирования при использовании прямых или упрощенных формул интегрирования становится недопустимо большим. Это оправдывает применение аппарата быстрого преобразования Фурье - БПФ или FFT. Более того, имеются специальные сигнальные процессоры для обработки сигналов, в которых БПФ реализуется на аппаратном уровне.