учебники и задачи по числ методам / Дьяконов_В

3.3.5. Контроль правильности модели

Для контроля правильности полученной модели может использоваться ряд приемов:

Анализ размерности – величины в левой и правой части выражения, отдельные слагаемые в каждой из частей должны иметь одинаковую размерность.
Проверка порядков и характеров зависимостей – параметры и переменные, которые в данной задаче выражены величинами большего порядка малости, могут быть исключены из рассмотрения как несущественные, что часто позволяет значительно упростить модель и ее анализ. Характер изменения значений моделируемых величин должен соответствовать их реальному смыслу, не противоречить наблюдаемым данным.
Исследование предельных случаев – результаты моделирования при крайних значениях параметров модели, равных, как правило, нулю или бесконечности, не должны противоречить смыслу (например, энергия реальной физической системы не может оказаться бесконечно большой, время протекания процесса – отрицательным и т.п.) Модель в этом случае существенно упрощается и легче для понимания.
Проверка замкнутости и корректности математической задачи – система математических соотношений должна иметь единственное решение.

Задача называется корректной, если она удовлетворяет трем требованиям:

Ее решения существует при любых допустимых входных данных.
Это решение единственно (однозначно определено).
Решение непрерывно зависит от данных задачи - устойчиво по отношению к малым возмущениям входных данных.

Решение вычислительной задачи называется устойчивым по входным данным Х, если оно зависит от входных данных непрерывным образом; т.е. для любого >0 существует =()>0 такое, что всяким исходным данным х*, удовлетворяющим условию (x*)<, отвечает приближенное решение y*, для которого (y*)<.

Далеко не все практические задачи являются корректными. К ним, например, не относятся обратные задачи геофизики, астрофизики, спектрографии, распознавания образов, синтез и многие другие важные прикладные проблемы. Свойство корректности задачи имеет большое значение для выбора метода решения. К некорректным задачам неприменимы обычные численные методы вычислительной математики. Строгий анализ корректности во многих случаях математически сложен, и ограничиваются проверкой соответствия количества неизвестных и связывающих их уравнений в модели.

Содержание