1.4. Электрическое поле точечного заряда. Принцип суперпозиции
Определим напряженность и потенциал электрического поля точечного заряда q на расстоянии r от него. Поместим некоторый «пробный» положительный заряд на расстоянииr от заряда . Тогда на заряд действует сила, модуль которой определяется выражением (1.1)
.
По определению напряженности поля (1.3) находим
. (1.11)
Таким образом, величина напряженности электрического поля точечного заряда обратно пропорциональна квадрату расстояния от заряда до точки наблюдения. Согласно (1.3) вектор направлен так же, как и сила, действующая на «пробный» положительный заряд. Если зарядположительный, то векторнаправлен вдоль радиус-вектора(рис.1.3, а), проведенного от точечного заряда в точку наблюдения. Если заряд отрицательный, то векторнаправлен против вектора(рис. 1.3, б). Таким образом, для проекции векторана направление радиус-вектора, проведенного от точечного заряда в точку наблюдения, получится формула
, (1.11,а)
(1.11,б)
Теперь определим потенциал поля точечного заряда, для которого формула (1.10) имеет следующий вид
,
где проекция вектора напряженности электрического поля на направление радиус вектора, проведенного от точечного заряда в точку, где определяются характеристики поля. Подставляя в нее значение из (1.11,а), получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:
,
далее интегрируем:
,
где С – константа интегрирования. На бесконечно большом расстоянии () получим. Имея ввиду нулевое значение потенциала бесконечно удаленных точек, полагаем. Таким образом, потенциал поля точечного заряда
. (1.12)
Как потенциал, так и напряженность электростатического поля, подчиняются принципу суперпозиции, который является важнейшим свойством электрического поля. Согласно этому принципу, напряженность поля (потенциал), создаваемая в какой-либо точке пространства системой зарядов, равна векторной (скалярной, с учетом знаков) сумме напряженностей (потенциалов), создаваемых в этой точке каждым из зарядов
, (1.13)
Принцип суперпозиции для напряженностей полей точечных зарядов следует из того опытного факта, что сила электрического поля , действующая на «пробный» заряд, равна векторной сумме сил, с которыми каждый из зарядовидействует в отсутствии другого на заряд(рис. 1.4). Отсюда и следует правило векторного сложения напряженностей электрических полей. Действительно, исходя из определения (1.3) напряженности электрического поля следует:
,
где и- напряженности полей одного из зарядов в отсутствии другого. Аналогичные рассуждения, конечно, можно провести не только для двух, но и для любого количества зарядов.
Пример 1.1. Определить потенциальную энергию взаимодействия двух точечных зарядов и.
Решение. Рассмотрим движение заряда в поле заряда. Пусть заряд, первоначально находившийся на расстоянииот зарядав точке с потенциалом, перемещается по произвольной траектории в точку с потенциалом, находящуюся на расстоянииот заряда. Тогда, согласно (1.7), работа электрического поля зарядапо перемещению зарядаравна:
.
Работа кулоновских сил, как сил потенциальных, не зависит от способа перемещения зарядов иотносительно друг друга и определяется выражением (1.8). Сравнение полученного результата и формулы (1.8) показывает, что потенциальная энергия взаимодействия двух точечных зарядов определяется выражением:
(1.15)
в предположении, что при бесконечно большом расстоянии между зарядами . Потенциальная энергия взаимодействия зарядов положительна, если заряды отталкиваются, и отрицательна, если заряды притягиваются.
- Оглавление
- Введение
- 1. Электростатика
- 1.1. Закон Кулона
- 1.2. Электрическое поле и его характеристики
- 1.3. Связь напряженности электрического поля и потенциала
- 1.4. Электрическое поле точечного заряда. Принцип суперпозиции
- 1.5. Графическое изображение электрических полей. Силовые линии и эквипотенциальные поверхности
- 1.6. Теорема Гаусса для электрического поля в вакууме
- 1.7. Проводники в электрическом поле
- 1.8. Электрическое поле в диэлектриках
- 1.9. Теорема Гаусса для электрического поля в диэлектриках
- 1.10. Конденсаторы
- 1.11. Энергия электрического поля
- 1.12. Потенциальность электрического поля. Теорема о циркуляции
- 2. Постоянный электрический ток
- 2.1. Закон Ома для однородного участка цепи
- 2.2. Работа и мощность электрического тока. Закон Джоуля - Ленца
- 2.3. Последовательное и параллельное соединение проводников
- 2.4. Источники тока. Закон Ома для полной цепи
- 2.5. Химические источники тока. Элемент Вольта
- 2.6. Закон Ома для неоднородного участка цепи
- 2.7. Правила Кирхгофа
- Для лучшего уяснения всех нюансов, возникающих при применении правил Кирхгофа, рассмотрим пример достаточно разветвленной цепи.
- 2.8. Закон Ома в дифференциальной форме. Электронная теория проводимости
- 3. Магнетизм
- 3.1. Магнитное поле. Сила Лоренца
- 3.2. Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях
- 3.3. Сила Ампера
- 3.4. Рамка с током в магнитном поле
- 3.5. Эффект Холла
- 3.6. Вычисление магнитной индукции. Закон Био-Савара-Лапласа
- 3.7. Циркуляция и поток вектора магнитной индукции
- 3.8. Работа по перемещению контура с током в магнитном поле. Работа электродвигателя
- 3.9. Индуктивность
- 3.10. Закон электромагнитной индукции
- 3.11. Правило Ленца
- 3.12. Явления при замыкании и размыкании тока. Энергия магнитного поля
- 3.13. Генераторы и электродвигатели
- 3.14. Трансформаторы
- 3.15. Природа электромагнитной индукции
- 3.16. Магнитное поле в веществе
- 3.17. Теорема о циркуляции магнитного поля в веществе. Напряженность магнитного поля
- 3.18. Молекулярная теория магнетизма
- 3.19. Ток смещения. Уравнения Максвелла
- 3.20. Природа магнетизма
- 4. Электромагнитные колебания и волны
- 4.1. Колебательный контур
- 4.2. Колебательный контур с затуханием
- 4.3. Вынужденные колебания в lcr-контуре
- 4.4. Переменный ток в электрических цепях
- 4.4.1. Активное, индуктивное и емкостное сопротивления
- 4.4.2. Закон Ома для переменного тока. Активное и реактивное сопротивления
- 4.4.3. Метод векторных диаграмм
- 4.4.4. Эффективные напряжение и ток
- 4.4.5. Мощность в цепи переменного тока
- 4.5. Электромагнитные волны
- 4.5.1. Шкала электромагнитных волн
- 4.5.2. Получение электромагнитных волн
- 4.5.3. Энергия электромагнитных волн. Вектор Умова-Пойнтинга
- Список литературы