3.7. Циркуляция и поток вектора магнитной индукции
Циркуляция и поток вектора магнитной индукции (как и любого вектора вообще) определяются так же, как и для вектора напряженности электрического поля.
Циркуляцией по отрезку прямой однородного поля называется скалярное произведение:, где угол между векторами и.
Рассмотрим участок произвольной направленной кривой. Разобьем этот участок на мелкие отрезки, направленные так же, как и сама кривая. Тогда, циркуляцией векторапо участку кривойназывается криволинейный интеграл , который представляет собой предел суммы при делении кривой на бесконечно малые отрезки:
.
Малый участок кривой можно считать прямым отрезком, а поле в пределах этого участка однородным, поэтому каждое слагаемое в сумме представляет собой циркуляцию векторапо отрезку.
Циркуляцию вектора позамкнутой кривой будем обозначать как .
Магнитным потоком вектора в однородном поле через плоскую поверхность площадиназывается величина
, (3.19)
где единичный вектор нормали к поверхности, угол между направлением вектора и направлением нормали к поверхности. В системе СИ единица измерения магнитного потокаВебер (Вб).
Теперь рассмотрим участок произвольной поверхности . Потоком векторачерез участок поверхностиназывается поверхностный интеграл, представляющий собой предел суммы при делении поверхности на кускибесконечно малых площадей:
. (3.19,а)
Малый участок поверхности можно считать плоским, а полев пределах этого участка – однородным, поэтому каждое слагаемое в суммепредставляет собой поток векторачерез плоскую поверхность.
Поток вектора череззамкнутую поверхность будем обозначать как .
Сформулируем две теоремы о циркуляции и потоке вектора магнитной индукции.
Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции (для поля в вакууме). Циркуляция вектора магнитной индукции по произвольному замкнутому направленному контуру:
, (3.20)
где алгебраическая сумма токов, пронизывающих произвольную поверхность, натянутую на контур, по которому вычисляется циркуляция. Направление обхода контура и направление нормали к натянутой на него поверхности связаны правилом буравчика. Если ток идет по направлению нормали, то его следует считать положительным, если наоборот – отрицательным.
Например, циркуляция вектора магнитной индукции по контуру , изображенному на рис. 3.14, равна.
Теорема о потоке вектора магнитной индукции. Поток вектора магнитной индукции через произвольную замкнутую поверхность равен нулю:
Теоремы о циркуляции и потоке вектора магнитной индукции полезно сравнить с соответствующими теоремами для вектора напряженности электрического поля. Вспомним теорему о потоке вектора напряженности электрического поля (теорема Гаусса, см. формулу 1.18):
.
Смысл этой теоремы в том, что источниками электрического поля являются электрические заряды. Они и создают поток вектора напряженности электрического поля. Силовые линии начинаются на зарядах и обрываются на них же. А смысл теоремы о потоке вектора магнитной индукции в том, что магнитных зарядов в природе не существует. Поэтому магнитные силовые линии нигде не начинаются и не заканчиваются, они замкнуты. Это и означает, что поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю (сколько линий войдет внутрь поверхности, столько и выйдет).
Циркуляция вектора напряженности электрического поля по любому замкнутому контуру равна нулю (уравнение 1.34):
.
Смысл этого уравнения в том, что электрическое поле, созданное любой системой зарядов, является полем потенциальным (подробнее см. п. 1.12). Электрическое поле, помимо напряженности силовой характеристики, имеет еще и энергетическую характеристику – потенциал. Теорема о циркуляции для вектора магнитной индукции говорит о том, что источниками магнитного поля являются электрические токи (по сути, движущиеся электрические заряды), которые и создают циркуляцию вектора . Кроме того, поскольку циркуляция вектора магнитной индукции по замкнутому контуру может быть отлична от нуля, магнитное поле – поле непотенциальное. Поля с замкнутыми силовыми линиями называют вихревыми или соленоидальными. Таковым и является магнитное поле.
Приведем несколько примеров на применение теоремы о циркуляции для магнитного поля.
Пример 3.6. Определить магнитное поле, создаваемое прямым бесконечно длинным проводником с током .
Решение. В качестве произвольного замкнутого контура выберем окружность с радиусом, центр которой находится на оси провода (такой контур совпадет с одной из силовых линий – см. рис. 3.13, а). В данном случае скалярное произведение. Поскольку контур пронизывается всего одним током, по теореме о циркуляции для магнитного поля получаем:
.
Величина вектора одинакова во всех точках контура, следовательно, её, как постоянную, можно вынести за знак интеграла:
.
Интеграл представляет собой просто длину контура. Таким образом,
,
откуда находим величину магнитного поля на расстоянии от провода:
.
Последнее выражение в точности совпадает с результатом, полученным в примере 3.3 (см. формулу 3.14) из закона Био-Савара-Лапласа.
Отметим, что формулой 3.14 можно пользоваться и в случае проводника конечных размеров при расчете поля приблизительно напротив центральной части проводника в точках, отстоящих от него на расстояниях, гораздо меньших длины проводника.
Пример 3.7. Найти магнитное поле внутри соленоида длиной , с числом виткови током.
Решение. В качестве контура обхода выберем прямоугольный контур АСDЕ (см. рис. 3.15) так, что отрезок АС приблизительно лежит в средней части соленоида, а отрезок DЕ удален на большое расстояние от соленоида. По теореме о циркуляции для магнитного поля имеем:
.
Помещая небольшую магнитную стрелку в различные точки пространства, можно показать, что магнитное поле в средней части соленоида как снаружи, так и внутри, направлено параллельно оси соленоида. Следовательно, на отрезках контура СD и ЕA скалярное произведение
,
а на отрезке АС:
.
Таким образом, циркуляции магнитного поля по отрезкам CD и ЕA равны нулю:
, ,
а по отрезку АС:
(здесь величина вектора магнитной индукции вынесена за знак интеграла, поскольку она должна быть постоянна на отрезке АС из-за осевой симметрии системы). На большом расстоянии от соленоида величина магнитной индукции близка к нулю, поэтому и циркуляция магнитного поля по отрезку DЕ равна нулю:
.
В итоге получим:
Сумма токов, пронизывающих контур ACDE:
,
где число витков, пронизывающих контур ACDE (на рис. 3.15 эти витки показаны), число витков, приходящееся на единицу длины соленоида. Тогда:
.
.
Полученный результат совпадает с формулой (3.18) для поля на оси бесконечно длинного соленоида. Пользуясь теоремой о циркуляции, мы показали, что в случае достаточно длинного соленоида результат (3.18) можно использовать и для расчета поля в любой точке внутри соленоида в средней его части, а не только на оси.
- Оглавление
- Введение
- 1. Электростатика
- 1.1. Закон Кулона
- 1.2. Электрическое поле и его характеристики
- 1.3. Связь напряженности электрического поля и потенциала
- 1.4. Электрическое поле точечного заряда. Принцип суперпозиции
- 1.5. Графическое изображение электрических полей. Силовые линии и эквипотенциальные поверхности
- 1.6. Теорема Гаусса для электрического поля в вакууме
- 1.7. Проводники в электрическом поле
- 1.8. Электрическое поле в диэлектриках
- 1.9. Теорема Гаусса для электрического поля в диэлектриках
- 1.10. Конденсаторы
- 1.11. Энергия электрического поля
- 1.12. Потенциальность электрического поля. Теорема о циркуляции
- 2. Постоянный электрический ток
- 2.1. Закон Ома для однородного участка цепи
- 2.2. Работа и мощность электрического тока. Закон Джоуля - Ленца
- 2.3. Последовательное и параллельное соединение проводников
- 2.4. Источники тока. Закон Ома для полной цепи
- 2.5. Химические источники тока. Элемент Вольта
- 2.6. Закон Ома для неоднородного участка цепи
- 2.7. Правила Кирхгофа
- Для лучшего уяснения всех нюансов, возникающих при применении правил Кирхгофа, рассмотрим пример достаточно разветвленной цепи.
- 2.8. Закон Ома в дифференциальной форме. Электронная теория проводимости
- 3. Магнетизм
- 3.1. Магнитное поле. Сила Лоренца
- 3.2. Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях
- 3.3. Сила Ампера
- 3.4. Рамка с током в магнитном поле
- 3.5. Эффект Холла
- 3.6. Вычисление магнитной индукции. Закон Био-Савара-Лапласа
- 3.7. Циркуляция и поток вектора магнитной индукции
- 3.8. Работа по перемещению контура с током в магнитном поле. Работа электродвигателя
- 3.9. Индуктивность
- 3.10. Закон электромагнитной индукции
- 3.11. Правило Ленца
- 3.12. Явления при замыкании и размыкании тока. Энергия магнитного поля
- 3.13. Генераторы и электродвигатели
- 3.14. Трансформаторы
- 3.15. Природа электромагнитной индукции
- 3.16. Магнитное поле в веществе
- 3.17. Теорема о циркуляции магнитного поля в веществе. Напряженность магнитного поля
- 3.18. Молекулярная теория магнетизма
- 3.19. Ток смещения. Уравнения Максвелла
- 3.20. Природа магнетизма
- 4. Электромагнитные колебания и волны
- 4.1. Колебательный контур
- 4.2. Колебательный контур с затуханием
- 4.3. Вынужденные колебания в lcr-контуре
- 4.4. Переменный ток в электрических цепях
- 4.4.1. Активное, индуктивное и емкостное сопротивления
- 4.4.2. Закон Ома для переменного тока. Активное и реактивное сопротивления
- 4.4.3. Метод векторных диаграмм
- 4.4.4. Эффективные напряжение и ток
- 4.4.5. Мощность в цепи переменного тока
- 4.5. Электромагнитные волны
- 4.5.1. Шкала электромагнитных волн
- 4.5.2. Получение электромагнитных волн
- 4.5.3. Энергия электромагнитных волн. Вектор Умова-Пойнтинга
- Список литературы